Похожие вопросы
2025-10-25 03:15:40
Постройте фигуру, ограниченную линиями:
- y = sinx, y = x + 1, x = 0, x = 2 и вычислите ее площадь, учитывая cos2 ≈ -0,41;
- y = cosx, y = 3 - x, x = 0, x = -1 и вычислите ее площадь, учитывая sin1 ≈ 0,84.
Алгебра 11 класс Площадь фигуры, ограниченной кривыми алгебра 11 класс площадь фигуры графики функций интегралы sinx cosX вычисление площади ограниченные линии y = sinx y = cosx y = x + 1 y = 3 - x x = 0 x = 2 x = -1 sin1 cos2 Новый
2025-10-25 03:15:58
Для решения задачи, давайте сначала разберем каждую из двух фигур по отдельности, а затем вычислим их площади.
1. Фигура, ограниченная линиями: y = sin(x), y = x + 1, x = 0, x = 2Шаг 1: Найдем точки пересечения кривых y = sin(x) и y = x + 1.
Для этого приравняем их:
- sin(x) = x + 1
Эта уравнение не имеет решения в пределах от 0 до 2, так как sin(x) всегда меньше или равно 1, а x + 1 на отрезке [0, 2] принимает значения от 1 до 3. Таким образом, линии не пересекаются.
Шаг 2: Определим границы интегрирования. Мы знаем, что x = 0 и x = 2.
Шаг 3: Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, ограниченной этими линиями, интегрируя разность функций от 0 до 2:
- Площадь = ∫[0, 2] ((sin(x) - (x + 1)) dx)
Шаг 4: Вычислим интеграл:
- ∫(sin(x) - (x + 1)) dx = ∫sin(x) dx - ∫(x + 1) dx = -cos(x) - (x^2/2 + x)
Шаг 5: Подставим пределы интегрирования от 0 до 2:
- Площадь = [-cos(2) - (2^2/2 + 2)] - [-cos(0) - (0^2/2 + 0)]
- Площадь = [-(-0.41) - (2 + 2)] - [-1 - 0]
- Площадь = [0.41 - 4] - [-1] = 0.41 - 4 + 1 = -2.59
Поскольку площадь не может быть отрицательной, мы берем модуль:
Площадь первой фигуры равна 2.59.
2. Фигура, ограниченная линиями: y = cos(x), y = 3 - x, x = 0, x = -1Шаг 1: Найдем точки пересечения кривых y = cos(x) и y = 3 - x.
Приравняем их:
- cos(x) = 3 - x
Решим это уравнение. Мы можем найти точки пересечения в пределах от -1 до 0. Подставим значения:
- Для x = -1: cos(-1) ≈ 0.54, 3 - (-1) = 4. Это не пересечение.
- Для x = 0: cos(0) = 1, 3 - 0 = 3. Это тоже не пересечение.
Шаг 2: Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, ограниченной этими линиями, интегрируя разность функций от -1 до 0:
- Площадь = ∫[-1, 0] ((3 - x) - cos(x)) dx
Шаг 3: Вычислим интеграл:
- ∫(3 - x - cos(x)) dx = 3x - (x^2/2) - sin(x)
Шаг 4: Подставим пределы интегрирования от -1 до 0:
- Площадь = [3(0) - (0^2/2) - sin(0)] - [3(-1) - ((-1)^2/2) - sin(-1)]
- Площадь = [0 - 0 - 0] - [-3 - 0.5 - (-0.84)]
- Площадь = 0 - [-3 - 0.5 + 0.84] = 0 + 3 + 0.5 - 0.84 = 2.66.
Площадь второй фигуры равна 2.66.
Итак, итоговые площади:
- Первая фигура: 2.59
- Вторая фигура: 2.66