Для того чтобы построить график функции y = arcsin(x - 1) + 2 и исследовать её на монотонность, следуем следующим шагам:

Функция arcsin(x) определена на интервале от -1 до 1. В нашем случае мы имеем выражение x - 1. Чтобы arcsin(x - 1) было определено, необходимо, чтобы:

• -1 ≤ x - 1 ≤ 1.

Решим это неравенство:

• Первое неравенство: -1 ≤ x - 1
  x ≥ 0.
• Второе неравенство: x - 1 ≤ 1
  x ≤ 2.

Таким образом, область определения функции: x ∈ [0, 2].

Для исследования функции на монотонность, найдем её производную:

• y' = d/dx [arcsin(x - 1) + 2] = 1 / √(1 - (x - 1)²) * (1).

Производная функции y будет равна:

• y' = 1 / √(1 - (x - 1)²).

Теперь определим, на каком интервале производная положительна или отрицательна. Поскольку знаменатель √(1 - (x - 1)²) всегда положителен на интервале [0, 2], то:

• y' > 0 при x ∈ (0, 2).

Это означает, что функция y = arcsin(x - 1) + 2 является возрастающей на интервале (0, 2).

Теперь найдем значения функции на границах области определения:

• При x = 0: y(0) = arcsin(0 - 1) + 2 = arcsin(-1) + 2 = -π/2 + 2.
• При x = 2: y(2) = arcsin(2 - 1) + 2 = arcsin(1) + 2 = π/2 + 2.

Теперь, зная, что функция возрастает на интервале [0, 2], и значения функции на границах, мы можем построить график. График будет начинаться примерно от -π/2 + 2 (примерно 0.43) при x = 0 и будет достигать π/2 + 2 (примерно 3.57) при x = 2.

Функция y = arcsin(x - 1) + 2 определена на интервале [0, 2] и является возрастающей на этом интервале. График функции будет представлять собой кривую, которая поднимается от значения около 0.43 до 3.57.