При каких значениях параметра a любое решение неравенства x^2 - 3x + 2 < 0 будет решением неравенства ax^2 - (3a + 1)x + 3 < 0?

Алгебра 11 класс Неравенства с параметрами алгебра 11 класс неравенства параметры решения неравенств Квадратные неравенства Новый

Для решения этой задачи начнем с анализа первого неравенства:

x^2 - 3x + 2 < 0

Сначала найдем корни этого квадратного неравенства. Мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

В нашем случае a = 1, b = -3 и c = 2. Подставим эти значения:

• Дискриминант D = (-3)^2 - 4 * 1 * 2 = 9 - 8 = 1.
• Корни: x1 = (3 - √1) / 2 = 2, x2 = (3 + √1) / 2 = 1.

Таким образом, корни неравенства x^2 - 3x + 2 = 0 - это x1 = 1 и x2 = 2. Теперь мы можем определить, где функция x^2 - 3x + 2 меньше нуля:

Функция имеет вид параболы, открытой вверх, и между корнями (1 и 2) она будет отрицательной. Следовательно:

Неравенство x^2 - 3x + 2 < 0 выполняется при 1 < x < 2.

Теперь перейдем ко второму неравенству:

ax^2 - (3a + 1)x + 3 < 0

Для того чтобы любое решение первого неравенства также было решением второго, необходимо, чтобы второй параболический график также имел корни в пределах (1, 2) и был направлен вверх (a > 0).

Теперь найдем корни второго неравенства:

Корни определяются по той же формуле:

• Дискриминант D = (-(3a + 1))^2 - 4 * a * 3 = (3a + 1)^2 - 12a.

Теперь упростим дискриминант:

• D = 9a^2 + 6a + 1 - 12a = 9a^2 - 6a + 1.

Для того чтобы корни второго неравенства находились в интервале (1, 2), необходимо, чтобы:

1. ax^2 - (3a + 1)x + 3 = 0 имел два различных корня (D > 0).
2. Корни лежали в пределах 1 и 2.

Рассмотрим условия для D:

9a^2 - 6a + 1 > 0.

Решим это неравенство:

• Находим дискриминант D1 = (-6)^2 - 4 * 9 * 1 = 36 - 36 = 0.
• Корень: a1 = 6 / (2 * 9) = 1/3.

Парабола 9a^2 - 6a + 1 открыта вверх, и она не имеет действительных корней, следовательно, D всегда положительно.

Теперь проверим, чтобы корни находились в интервале (1, 2). Подставим x = 1 и x = 2 в исходное неравенство:

• ax^2 - (3a + 1)x + 3 < 0 при x = 1: a - (3a + 1) + 3 < 0 => -2a + 2 < 0 => a > 1.
• ax^2 - (3a + 1)x + 3 < 0 при x = 2: 4a - (6a + 1) + 3 < 0 => -2a + 2 < 0 => a < 1.

Таким образом, для того чтобы оба условия выполнялись, необходимо, чтобы:

a > 1.

Итак, ответ: любое решение неравенства x^2 - 3x + 2 < 0 будет решением неравенства ax^2 - (3a + 1)x + 3 < 0 при значении параметра a > 1.