Проверьте, правильно ли утверждение, что sin²x - tg²x равно -tg²x sin²x.

Алгебра 11 класс Тригонометрические функции алгебра 11 класс sin2x tg2x тригонометрические функции уравнения алгебры математические утверждения проверка утверждений Новый

Давайте проверим данное утверждение, анализируя обе части уравнения: sin²x - tg²x и -tg²x sin²x.

Начнем с левой части: sin²x - tg²x.

Мы знаем, что тангенс можно выразить через синус и косинус:

• tg x = sin x / cos x.

Тогда tg²x будет равно:

• tg²x = (sin x / cos x)² = sin²x / cos²x.

Теперь подставим это значение в нашу левую часть:

• sin²x - tg²x = sin²x - (sin²x / cos²x).

Теперь, чтобы выполнить вычитание, приведем дроби к общему знаменателю:

• sin²x - (sin²x / cos²x) = (sin²x * cos²x) / cos²x - sin²x / cos²x = (sin²x * cos²x - sin²x) / cos²x.

Теперь можно вынести sin²x за скобки:

• (sin²x * (cos²x - 1)) / cos²x.

Используя тригонометрическую идентичность, мы знаем, что cos²x - 1 = -sin²x. Таким образом, получаем:

• (sin²x * (-sin²x)) / cos²x = -sin⁴x / cos²x.

Теперь рассмотрим правую часть: -tg²x sin²x.

• tg²x sin²x = (sin²x / cos²x) * sin²x = sin⁴x / cos²x.

Тогда:

• -tg²x sin²x = -sin⁴x / cos²x.

Теперь сравним обе части:

• Левая часть: -sin⁴x / cos²x.
• Правая часть: -sin⁴x / cos²x.

Таким образом, мы видим, что обе части равны:

• sin²x - tg²x = -tg²x sin²x.

Ответ: Утверждение верно. sin²x - tg²x равно -tg²x sin²x.