Для решения уравнения sin(x) * sin(7x) = sin(5x) * sin(3x) мы воспользуемся тригонометрическими тождествами и свойствами синуса.

Во-первых, давайте вспомним одно из тождеств, которое может нам помочь. Мы можем использовать формулу произведения синусов:

sin(A) * sin(B) = 1/2 [cos(A - B) - cos(A + B)]

Применим это тождество к обеим сторонам уравнения.

• Левая часть: sin(x) * sin(7x)
• Правая часть: sin(5x) * sin(3x)

Теперь применим тождество к левой части:

sin(x) * sin(7x) = 1/2 [cos(x - 7x) - cos(x + 7x)] = 1/2 [cos(-6x) - cos(8x)] = 1/2 [cos(6x) - cos(8x)]

Теперь применим тождество к правой части:

sin(5x) * sin(3x) = 1/2 [cos(5x - 3x) - cos(5x + 3x)] = 1/2 [cos(2x) - cos(8x)]

Теперь у нас есть следующее уравнение:

1/2 [cos(6x) - cos(8x)] = 1/2 [cos(2x) - cos(8x)]

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

cos(6x) - cos(8x) = cos(2x) - cos(8x)

Теперь добавим cos(8x) к обеим сторонам:

cos(6x) = cos(2x)

Теперь мы можем использовать известное свойство косинуса: если cos(A) = cos(B), то A = 2kπ ± B, где k – целое число.

В нашем случае это означает:

• 6x = 2kπ ± 2x

Решим оба случая:

1. 6x = 2kπ + 2x:

4x = 2kπ

x = kπ/2

2. 6x = 2kπ - 2x:

8x = 2kπ

x = kπ/4

Таким образом, в общем виде, решения уравнения:

x = kπ/2 и x = kπ/4, где k – целое число.