Для решения неравенства (4x-1)² / (x-3) ≥ (1 - 8x + 16x²) / (18 - 9x + x²) начнем с упрощения обеих сторон.

1. Рассмотрим правую часть неравенства: (1 - 8x + 16x²) / (18 - 9x + x²). Заметим, что числитель можно переписать как (4x - 1)², так как:

• 1 - 8x + 16x² = (4x - 1)².

Теперь правую часть можно представить как:

2. Теперь подставим это в неравенство:

3. Умножим обе стороны на (x - 3)(18 - 9x + x²) (при условии, что выражения не равны нулю и знаки неравенства сохраняются). Получаем:

4. Теперь рассмотрим случаи:

• Если (4x - 1)² = 0, то 4x - 1 = 0 и x = 1/4.
• Если (4x - 1)² > 0, то можем делить на это выражение. Упрощаем неравенство:

5. Переносим все в одну сторону:

6. Теперь решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения x² - 10x + 21 = 0 с помощью дискриминанта:

• D = b² - 4ac = (-10)² - 4*1*21 = 100 - 84 = 16.

Корни:

• x₁ = (10 + √16) / 2 = 8,
• x₂ = (10 - √16) / 2 = 2.

7. Теперь мы знаем, что x² - 10x + 21 меняет знак в точках x = 2 и x = 8. Находим интервалы:

• (-∞, 2),
• (2, 8),
• (8, ∞).

8. Проверим знаки на каждом интервале:

• Для x < 2 (например, x = 0): 0² - 10*0 + 21 > 0.
• Для 2 < x < 8 (например, x = 5): 5² - 10*5 + 21 < 0.
• Для x > 8 (например, x = 9): 9² - 10*9 + 21 > 0.

9. Таким образом, решение неравенства:

10. Не забываем, что x ≠ 3 (изначальное условие). Но 3 не входит в найденные интервалы, поэтому окончательное решение: