Решите неравенство с учетом области определения:

log15(x-3) + log15(x-5) < 1

Алгебра 11 класс Неравенства с логарифмами алгебра 11 класс неравенство логарифмы решение неравенства область определения log15 математические задачи логарифмическое неравенство учебник алгебры Новый

Для решения неравенства log15(x-3) + log15(x-5) < 1, начнем с определения области допустимых значений (ОДЗ), так как логарифмы определены только для положительных аргументов.

Шаг 1: Определение ОДЗ

• Первый логарифм: x - 3 > 0, откуда следует, что x > 3.
• Второй логарифм: x - 5 > 0, откуда следует, что x > 5.

Таким образом, учитывая оба условия, мы получаем, что OДЗ: x > 5.

Шаг 2: Преобразование неравенства

Теперь у нас есть неравенство:

log15(x-3) + log15(x-5) < 1.

Согласно свойству логарифмов, сумма логарифмов равна логарифму произведения:

log15((x-3)(x-5)) < 1.

Шаг 3: Устранение логарифма

Теперь мы можем убрать логарифм, выразив неравенство в показательной форме:

(x-3)(x-5) < 15^1.

Значит, (x-3)(x-5) < 15.

Шаг 4: Раскрытие скобок

Раскроем скобки:

x^2 - 8x + 15 < 15.

Упрощаем неравенство:

x^2 - 8x < 0.

Шаг 5: Решение квадратного неравенства

Переносим все в одну сторону:

x(x - 8) < 0.

Теперь найдем корни уравнения x(x - 8) = 0, которые дают x = 0 и x = 8.

Шаг 6: Определение интервалов

Теперь мы можем определить знаки на интервалах:

• Интервал (-∞, 0): оба множителя отрицательные, произведение положительное.
• Интервал (0, 8): один множитель положительный, другой отрицательный, произведение отрицательное.
• Интервал (8, +∞): оба множителя положительные, произведение положительное.

Шаг 7: Вывод решения

Таким образом, неравенство x(x - 8) < 0 выполняется на интервале (0, 8). Однако мы должны учитывать ОДЗ, где x > 5. Поэтому окончательное решение будет в пределах:

(5, 8).

Ответ: x ∈ (5, 8).