Чтобы решить неравенство x(x-1)²(x-3)⁴ / (x+1)⁵(x+2)⁶(x+3)⁷ ≤ 0, следуем следующим шагам:

1. Найдем нули числителя и знаменателя:
   • Числитель равен нулю, когда x = 0, x = 1 (учитываем степень 2, это значит, что x=1 будет двойным корнем), и x = 3 (учитываем степень 4, это значит, что x=3 будет четным корнем).
   • Знаменатель равен нулю, когда x = -1, x = -2, x = -3 (учитываем степени 5, 6 и 7 соответственно, все они являются нечетными, поэтому эти значения будут точками разрыва).
2. Запишем все найденные значения:
   • Нули числителя: x = 0, x = 1, x = 3
   • Нули знаменателя: x = -1, x = -2, x = -3
3. Составим числовую прямую и отметим на ней найденные точки:
   • Точки: -3, -2, -1, 0, 1, 3.
4. Определим знаки выражения на интервалах:
   • Интервалы: (-∞, -3), (-3, -2), (-2, -1), (-1, 0), (0, 1), (1, 3), (3, +∞).
   • Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в выражение.

Теперь проверим знаки на каждом интервале:

• Для интервала (-∞, -3): возьмем точку x = -4. Знак: положительный.
• Для интервала (-3, -2): возьмем точку x = -2.5. Знак: отрицательный.
• Для интервала (-2, -1): возьмем точку x = -1.5. Знак: положительный.
• Для интервала (-1, 0): возьмем точку x = -0.5. Знак: отрицательный.
• Для интервала (0, 1): возьмем точку x = 0.5. Знак: положительный.
• Для интервала (1, 3): возьмем точку x = 2. Знак: отрицательный.
• Для интервала (3, +∞): возьмем точку x = 4. Знак: положительный.

Теперь подведем итоги:

• (-∞, -3) - положительный
• (-3, -2) - отрицательный
• (-2, -1) - положительный
• (-1, 0) - отрицательный
• (0, 1) - положительный
• (1, 3) - отрицательный
• (3, +∞) - положительный

Теперь мы видим, что неравенство ≤ 0 выполняется на интервалах:

• (-3, -2)
• (-1, 0]
• [1, 3]

Теперь определим наибольшее целое решение неравенства. Из указанных интервалов целые числа:

• На интервале (-3, -2) нет целых чисел.
• На интервале (-1, 0] есть целое число: -1.
• На интервале [1, 3] есть целые числа: 1, 2, 3.

Наибольшее целое число из найденных: 3.

Таким образом, ответ: 3.