Для решения данной системы неравенств, мы будем разбирать каждое неравенство по отдельности. Начнем с первого неравенства:

Корень из выражения больше нуля, когда само выражение положительно. Поэтому мы решим неравенство:

1. 2x² + 3x - 2 > 0.
2. Для нахождения корней уравнения 2x² + 3x - 2 = 0 воспользуемся дискриминантом: D = b² - 4ac = 3² - 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 25.
3. Корни: x1 = (-3 + √25) / (2 * 2) = 0.5 и x2 = (-3 - √25) / (2 * 2) = -2.
4. Теперь определим знаки на интервалах (-∞, -2), (-2, 0.5) и (0.5, ∞). Проверим знак на каждом из интервалов:

• Для x < -2 (например, x = -3): 2(-3)² + 3(-3) - 2 = 18 - 9 - 2 = 7 > 0.
• Для -2 < x < 0.5 (например, x = 0): 2(0)² + 3(0) - 2 = -2 < 0.
• Для x > 0.5 (например, x = 1): 2(1)² + 3(1) - 2 = 2 + 3 - 2 = 3 > 0.

Таким образом, решение первого неравенства: x ∈ (-∞, -2) ∪ (0.5, ∞).

Корень из выражения существует, когда 6x - x² ≥ 0, что эквивалентно x(6 - x) ≥ 0. Корни этого уравнения: x = 0 и x = 6.

Решим неравенство:

• Для x < 0: выражение отрицательное.
• Для 0 < x < 6: выражение положительное.
• Для x > 6: выражение отрицательное.

Следовательно, x ∈ [0, 6]. Теперь решим неравенство √(6x - x²) < √5:

1. 6x - x² < 5.
2. Перепишем: x² - 6x + 5 > 0.
3. Корни: x1 = 1 и x2 = 5.

Знаки на интервалах: (-∞, 1), (1, 5), (5, ∞):

• Для x < 1: положительное.
• Для 1 < x < 5: отрицательное.
• Для x > 5: положительное.

Таким образом, решение второго неравенства: x ∈ (-∞, 1) ∪ (5, ∞). Но учитывая, что x ∈ [0, 6], мы получаем x ∈ [0, 1) ∪ (5, 6].

Поскольку корень всегда неотрицательный, неравенство выполняется для всех x, где -3 - x² < 0, т.е. x² > -3. Это условие всегда выполняется, так как x² всегда неотрицательно.

Корень всегда неотрицательный, следовательно, это неравенство выполняется всегда. Но нам нужно, чтобы 2 + x - x² ≥ 0:

1. Корни: x1 = -1 и x2 = 2.

Знаки на интервалах: (-∞, -1), (-1, 2), (2, ∞):

• Для x < -1: положительное.
• Для -1 < x < 2: отрицательное.
• Для x > 2: положительное.

Таким образом, решение: x ∈ (-∞, -1) ∪ (2, ∞).

Корень из выражения существует, когда x(x - 1) ≥ 0, т.е. x ∈ (-∞, 0) ∪ (1, ∞).

Решим неравенство:

1. x² - x > 2.
2. x² - x - 2 > 0.
3. Корни: x1 = -1 и x2 = 2.

Знаки на интервалах: (-∞, -1), (-1, 2), (2, ∞):

• Для x < -1: положительное.
• Для -1 < x < 2: отрицательное.
• Для x > 2: положительное.

Таким образом, решение: x ∈ (-∞, -1) ∪ (2, ∞).

Корень всегда неотрицательный. Неравенство выполняется, когда -2 - 3x² < 0, т.е. x² > 2/3. Соответственно, x ∈ (-∞, -√(2/3)) ∪ (√(2/3), ∞).

Теперь объединим все найденные решения:

• 1: x ∈ (-∞, -2) ∪ (0.5, ∞).
• 2: x ∈ [0, 1) ∪ (5, 6].
• 3: x ∈ R.
• 4: x ∈ (-∞, -1) ∪ (2, ∞).
• 5: x ∈ (-∞, -1) ∪ (2, ∞).
• 6: x ∈ (-∞, -√(2/3)) ∪ (√(2/3), ∞).

Теперь найдём пересечение всех этих множеств, чтобы получить общее решение системы неравенств.

Общее решение системы неравенств:

• x ∈ (-∞, -2) ∪ (5, 6].

Таким образом, окончательный ответ: x ∈ (-∞, -2) ∪ (5, 6].