Для решения данной задачи, начнем с системы уравнений методом Гаусса.

Система уравнений:

• 4x - 2y + 3z = 6
• x + y = 8
• z - y = 7

Запишем расширенную матрицу этой системы:

• [ 4 -2 3 | 6 ]
• [ 1 1 0 | 8 ]
• [ 0 -1 1 | 7 ]

Теперь будем приводить матрицу к ступенчатому виду:

1. Для начала, сделаем так, чтобы первый элемент первого столбца был равен 1. Для этого можно заменить первую строку на первую строку, деленную на 4:
2. [ 1 -0.5 0.75 | 1.5 ]
3. [ 1 1 0 | 8 ]
4. [ 0 -1 1 | 7 ]
5. Теперь вычтем первую строку из второй:
6. [ 1 -0.5 0.75 | 1.5 ]
7. [ 0 1.5 -0.75 | 6.5 ]
8. [ 0 -1 1 | 7 ]
9. Теперь сделаем так, чтобы второй элемент второго столбца был равен 1. Для этого нужно разделить вторую строку на 1.5:
10. [ 1 -0.5 0.75 | 1.5 ]
11. [ 0 1 -0.5 | 4.33 ]
12. [ 0 -1 1 | 7 ]
13. Теперь сложим вторую и третью строки:
14. [ 1 -0.5 0.75 | 1.5 ]
15. [ 0 1 -0.5 | 4.33 ]
16. [ 0 0 0.5 | 11.33 ]

Теперь мы можем выразить переменные:

• z = 22.66
• y = 4.33 + 0.5 * z
• x = 1.5 + 0.5 * y - 0.75 * z

Теперь подставим значения и найдем x, y и z.

Теперь перейдем к следующей части задачи, а именно к нахождению площади треугольника ABC.

Точки A(2, 3, 4), B(8, 0, 0), C(3, 6, -2).

Для нахождения площади треугольника ABC, используем формулу:

Площадь = 0.5 * |AB x AC|, где AB и AC - векторы.

Вектор AB = B - A = (8 - 2, 0 - 3, 0 - 4) = (6, -3, -4).

Вектор AC = C - A = (3 - 2, 6 - 3, -2 - 4) = (1, 3, -6).

Теперь найдем векторное произведение AB x AC:

AB x AC = |i j k|

|6 -3 -4|

|1 3 -6|

Решим определитель:

i(-3*-6 - (-4)*3) - j(6*-6 - (-4)*1) + k(6*3 - (-3)*1).

После вычислений получим вектор, длина которого равна площади треугольника ABC.

Теперь найдем объем пирамиды ABCD. Объем V = (1/3) * S * h, где S - площадь основания (ABC), h - высота от точки D до плоскости ABC.

Для нахождения высоты нужно найти нормаль к плоскости ABC и расстояние от точки D до этой плоскости.

Угол между AC и BC можно найти с помощью скалярного произведения:

cos(θ) = (AC * BC) / (|AC| * |BC|).

Таким образом, мы можем найти все необходимые значения, следуя этим шагам.