Для решения данного уравнения начнем с анализа его левой части. Мы видим, что у нас есть сумма дробей, каждая из которых имеет вид:

1/(√(x+k) + √(x+k+1)), где k принимает значения от 2 до 2017.

Таким образом, у нас 2016 членов в этой сумме. Теперь давайте упростим каждый член:

• Мы можем умножить числитель и знаменатель на (√(x+k) - √(x+k+1)), чтобы избавиться от корней в знаменателе.

Таким образом, каждый член примет следующий вид:

1/(√(x+k) + √(x+k+1)) * (√(x+k) - √(x+k+1))/(√(x+k) - √(x+k+1)) = (√(x+k) - √(x+k+1)) / ((x+k) - (x+k+1)) = (√(x+k) - √(x+k+1)) / (-1) = √(x+k+1) - √(x+k).

Теперь мы можем записать всю сумму:

Σ (√(x+k+1) - √(x+k)) от k=2 до 2017.

Это телескопическая сумма, где все промежуточные члены взаимно уничтожаются. В результате останется:

√(x+2018) - √(x+2).

Таким образом, наше уравнение принимает вид:

√(x+2018) - √(x+2) = 42.

Теперь давайте решим это уравнение:

1. Переносим √(x+2) в правую часть:

√(x+2018) = 42 + √(x+2).

2. Теперь возводим обе стороны в квадрат:

(√(x+2018))^2 = (42 + √(x+2))^2.

3. Это дает нам:

x + 2018 = 1764 + 84√(x+2) + (x + 2).

4. Упрощаем уравнение:

2018 = 1764 + 84√(x+2) + 2.

5. Соберем все числа:

2018 - 1766 = 84√(x+2).

6. Это дает:

252 = 84√(x+2).

7. Теперь делим обе стороны на 84:

√(x+2) = 252 / 84 = 3.

8. Возводим в квадрат:

x + 2 = 9.

9. И, наконец, находим x:

x = 9 - 2 = 7.

Таким образом, решение уравнения: