Давайте сначала решим уравнение:

Уравнение выглядит следующим образом:

8 / (x^2 - 4) = (x + 2) / (x - 2) + x / (x + 2)

Шаг 1: Найдем общий знаменатель для правой части уравнения. Общий знаменатель будет (x - 2)(x + 2).

Шаг 2: Перепишем правую часть уравнения с общим знаменателем:

• (x + 2) / (x - 2) = (x + 2)(x + 2) / ((x - 2)(x + 2)) = (x + 2)^2 / ((x - 2)(x + 2))
• x / (x + 2) = x(x - 2) / ((x + 2)(x - 2))

Теперь правую часть уравнения можно записать как:

(x + 2)^2 + x(x - 2) / ((x - 2)(x + 2))

Шаг 3: Упрощаем правую часть:

• (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4
• x(x - 2) = x^2 - 2x

Складываем:

x^2 + 4x + 4 + x^2 - 2x = 2x^2 + 2x + 4

Теперь у нас есть:

8 / (x^2 - 4) = (2x^2 + 2x + 4) / ((x - 2)(x + 2))

Шаг 4: Перемножим обе части уравнения на (x^2 - 4), чтобы избавиться от дробей:

8 = (2x^2 + 2x + 4) * (x^2 - 4) / ((x - 2)(x + 2))

Шаг 5: Упростим уравнение и решим его. Мы можем заметить, что x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2), следовательно:

8 = 2x^2 + 2x + 4

Шаг 6: Переносим все в одну сторону:

0 = 2x^2 + 2x - 4

Шаг 7: Делим на 2:

x^2 + x - 2 = 0

Шаг 8: Находим корни уравнения:

Корни можно найти по формуле: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 1, c = -2.

Дискриминант D = 1^2 - 4*1*(-2) = 1 + 8 = 9.

Корни: x = (-1 ± 3) / 2.

• x1 = 1
• x2 = -2

Таким образом, мы нашли корни уравнения: x = 1 и x = -2.

Теперь найдем область определения выражений:

Рассмотрим выражение:

sqrt((x + 1)(x - 3) / (x(x + 1)))

Шаг 1: Для начала, определим, при каких значениях x выражение под корнем не будет отрицательным:

• Сначала (x + 1) должно быть больше или равно 0: x + 1 >= 0 → x >= -1
• (x - 3) должно быть больше или равно 0: x - 3 >= 0 → x >= 3

Шаг 2: Теперь рассмотрим знаменатель:

• x не должно быть равно 0, чтобы избежать деления на ноль.
• (x + 1) также не должно быть равно 0, что уже учтено.

Шаг 3: Объединим условия:

1. x >= 3 (это более строгое условие, оно включает x >= -1).

2. x ≠ 0 (это условие не влияет на x >= 3).

Таким образом, область определения выражений:

x >= 3.