Для решения уравнения arcctg (x^2 + 7x + 12) = arcctg (16x - 8) мы воспользуемся свойством функции арккотангенса. Это свойство гласит, что если arcctg(a) = arcctg(b), то a = b или a = -b (при условии, что оба аргумента определены).

Таким образом, мы можем записать два случая:

1. x^2 + 7x + 12 = 16x - 8
2. x^2 + 7x + 12 = - (16x - 8)

Теперь решим каждый из случаев по отдельности.

Первый случай:

Решим уравнение:

x^2 + 7x + 12 = 16x - 8

Переносим все члены в одну сторону:

x^2 + 7x + 12 - 16x + 8 = 0

Упрощаем:

x^2 - 9x + 20 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

где a = 1, b = -9, c = 20:

D = (-9)^2 - 4 * 1 * 20 = 81 - 80 = 1

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два различных корня:

x1 = (9 + √1) / 2 = (9 + 1) / 2 = 5

x2 = (9 - √1) / 2 = (9 - 1) / 2 = 4

Таким образом, из первого случая мы получили два решения: x = 5 и x = 4.

Второй случай:

Решим уравнение:

x^2 + 7x + 12 = - (16x - 8)

Раскроем скобки:

x^2 + 7x + 12 = -16x + 8

Переносим все члены в одну сторону:

x^2 + 7x + 12 + 16x - 8 = 0

Упрощаем:

x^2 + 23x + 4 = 0

Теперь снова используем формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

где a = 1, b = 23, c = 4:

D = (23)^2 - 4 * 1 * 4 = 529 - 16 = 513

Так как дискриминант также положительный, у уравнения есть два различных корня:

x1 = (-23 + √513) / 2

x2 = (-23 - √513) / 2

Таким образом, из второго случая мы получили два решения. Однако, чтобы убедиться, что все найденные корни определены в функции arcctg, необходимо проверить, что аргументы не равны нулю:

• Для x = 5: x^2 + 7x + 12 = 5^2 + 7*5 + 12 = 25 + 35 + 12 = 72, 16*5 - 8 = 80 - 8 = 72 (не равны нулю).
• Для x = 4: x^2 + 7x + 12 = 4^2 + 7*4 + 12 = 16 + 28 + 12 = 56, 16*4 - 8 = 64 - 8 = 56 (не равны нулю).
• Корни второго случая также не равны нулю, так как дискриминант положительный.

Итак, все найденные решения действительны. В итоге, окончательные решения уравнения:

x = 5, x = 4, x = (-23 + √513) / 2, x = (-23 - √513) / 2.