Для решения неравенства sin²(2x) + √2 * sin(2x) >= 0, давайте начнем с замены переменной. Обозначим:

• y = sin(2x)

Теперь неравенство можно переписать в более простой форме:

y² + √2 * y >= 0

Это неравенство можно представить как произведение двух множителей:

y(y + √2) >= 0

Теперь мы можем найти корни этого уравнения:

• Первый корень: y = 0
• Второй корень: y + √2 = 0, что дает y = -√2

Теперь у нас есть два корня: y = 0 и y = -√2. Далее нам нужно определить, на каких интервалах функция y(y + √2) принимает положительные значения.

Рассмотрим три интервала, которые определяются корнями:

• (-∞, -√2)
• (-√2, 0)
• (0, +∞)

Теперь проверим знак произведения на каждом из этих интервалов:

1. Для интервала (-∞, -√2):
   • Выберем, например, y = -2: (-2)(-2 + √2) > 0.
2. Для интервала (-√2, 0):
   • Выберем, например, y = -1: (-1)(-1 + √2) < 0.
3. Для интервала (0, +∞):
   • Выберем, например, y = 1: (1)(1 + √2) > 0.

Таким образом, функция y(y + √2) принимает положительные значения на интервалах:

• (-∞, -√2)
• (0, +∞)

Теперь нам нужно учитывать, что y = sin(2x) и определить, для каких значений x это неравенство выполняется.

1. Для y = sin(2x) >= 0:

• sin(2x) = 0, когда 2x = nπ, где n - целое число. Это дает x = nπ/2.
• sin(2x) > 0, когда 2x находится в интервале (2kπ, (2k + 1)π) для целого k, что дает x в интервале (kπ, (k + 0.5)π).

2. Для y = sin(2x) < -√2:

Поскольку значение sin(2x) не может быть меньше -1, этот случай не имеет решения.

Таким образом, окончательные решения для неравенства:

• x = nπ/2, где n - целое число;
• x ∈ (kπ, (k + 0.5)π), где k - целое число.

Это и есть все значения x, для которых данное неравенство выполняется.