Давайте решим уравнение 1 + 9^x = 2^y + 8^z в целых числах. Начнем с того, что мы можем переписать 8^z, так как 8 является степенью 2:

• 8^z = (2^3)^z = 2^(3z).

Теперь уравнение можно переписать в следующем виде:

1 + 9^x = 2^y + 2^(3z).

Теперь заметим, что 9^x можно выразить как (3^2)^x = 3^(2x). Таким образом, уравнение становится:

1 + 3^(2x) = 2^y + 2^(3z).

Теперь мы можем рассмотреть различные случаи для целых чисел x, y и z.

• Если x = 0, то 9^0 = 1.
• Подставляем в уравнение: 1 + 1 = 2^y + 2^(3z).
• Таким образом, 2 = 2^y + 2^(3z).

Теперь рассмотрим возможные значения y и z:

• Если y = 1 и z = 0, то 2^1 + 2^0 = 2 + 1 = 3 (не подходит).
• Если y = 0 и z = 0, то 2^0 + 2^0 = 1 + 1 = 2 (подходит).

Таким образом, одно из решений: (x, y, z) = (0, 0, 0).

• Если x = 1, то 9^1 = 9.
• Подставляем в уравнение: 1 + 9 = 2^y + 2^(3z).
• Таким образом, 10 = 2^y + 2^(3z).

Теперь рассмотрим возможные значения y и z:

• Если y = 3 и z = 0, то 2^3 + 2^0 = 8 + 1 = 9 (не подходит).
• Если y = 2 и z = 1, то 2^2 + 2^3 = 4 + 8 = 12 (не подходит).
• Если y = 1 и z = 1, то 2^1 + 2^3 = 2 + 8 = 10 (подходит).

Таким образом, еще одно решение: (x, y, z) = (1, 1, 1).

• Если x = 2, то 9^2 = 81.
• Подставляем в уравнение: 1 + 81 = 2^y + 2^(3z).
• Таким образом, 82 = 2^y + 2^(3z).

Рассмотрим возможные значения y и z:

• Если y = 6 и z = 0, то 2^6 + 2^0 = 64 + 1 = 65 (не подходит).
• Если y = 5 и z = 1, то 2^5 + 2^3 = 32 + 8 = 40 (не подходит).
• Если y = 4 и z = 1, то 2^4 + 2^3 = 16 + 8 = 24 (не подходит).

Поэтому для x = 2 у нас нет целых решений.

При увеличении x значение 9^x будет расти очень быстро, и для 2^y + 2^(3z) будет сложно достичь таких же значений, так как они растут медленнее. Поэтому мы можем предположить, что решения ограничены.

Таким образом, найденные решения:

• (x, y, z) = (0, 0, 0)
• (x, y, z) = (1, 1, 1)

Это и есть целые решения уравнения 1 + 9^x = 2^y + 8^z.