Решим уравнение f(x) = x^4 - 4x - 16 = 0.

1) Исследуем количество действительных корней. Найдём производную:

f'(x) = 4x^3 - 4 = 4(x^3 - 1).

Отсюда единственная действительная критическая точка x = 1. Поскольку f'(x) < 0 при x < 1 и f'(x) > 0 при x > 1, функция убывает на (-∞,1] и возрастает на [1,∞), следовательно в точке x = 1 достигается глобальный минимум. f(1) = 1 - 4 - 16 = -19 < 0. Так как f(x) → +∞ при x → ±∞ и минимум отрицателен, уравнение имеет ровно два действительных корня и два комплексных сопряжённых.

2) Найдём действительные корни численно (методом деления отрезка / бисекции). Проверки значений:

• f(2) = 16 - 8 - 16 = -8 < 0, f(3) = 81 - 12 - 16 = 53 > 0 → есть корень на (2,3).
• f(-2) = 16 + 8 - 16 = 8 > 0, f(-1.5) = 5.0625 + 6 - 16 = -4.9375 < 0 → есть корень на (-2,-1.5).

Проведя уточнения (бисекция / несколько шагов метода Ньютона), получаем приближённо:

• положительный корень x1 ≈ 2.2347;
• отрицательный корень x2 ≈ -1.7349.

3) Найдём комплексные корни. Пусть остальные два корня r3 и r4. По теореме Виета:

• сумма всех корней = 0 ⇒ r3 + r4 = -(x1 + x2);
• произведение всех корней = constant = -16 ⇒ r3·r4 = -16 / (x1·x2).

Подставляя численные значения x1 ≈ 2.2347, x2 ≈ -1.7349, получаем

• r3 + r4 ≈ -0.4998;
• r3·r4 ≈ 4.1270.

Тогда квадратноe уравнение для r3,r4: t^2 + 0.4998 t + 4.1270 = 0. Его дискриминант отрицателен:

Δ ≈ (0.4998)^2 - 4·4.1270 ≈ -16.258, sqrt(−Δ) ≈ 4.032.

Следовательно комплексные корни:

• r3,4 ≈ -0.2499 ± 2.0160 i.

Итог (приближённо):

• x ≈ 2.2347;
• x ≈ -1.7349;
• x ≈ -0.2499 + 2.0160 i;
• x ≈ -0.2499 - 2.0160 i.

Замечание: точные выражения в элементарных радикалах для корней этого уравнения получаются через формулы Феррари (очень громоздкие). Для практических целей достаточно приведённых численных приближений.