Для нахождения площади области, ограниченной графиками функций y = sin(2x) и y = sin(x) на интервале от 0 до π/4, мы можем воспользоваться двойным интегралом. Однако в данном случае достаточно будет использовать одинарный интеграл, так как мы ищем площадь между двумя кривыми на заданном отрезке по оси x.

Следуйте этим шагам для решения задачи:

1. Найдите точки пересечения функций: Для начала нам нужно определить, где функции sin(2x) и sin(x) пересекаются на интервале 0 ≤ x ≤ π/4. Это делается путем решения уравнения:
• sin(2x) = sin(x).
2. Используйте формулы для синуса: Применим формулу двойного угла:
• sin(2x) = 2sin(x)cos(x).
3. Приведите уравнение к стандартному виду: Получаем уравнение:
• 2sin(x)cos(x) = sin(x).
4. Решите уравнение: Переносим sin(x) в левую часть:
• 2sin(x)cos(x) - sin(x) = 0.
• sin(x)(2cos(x) - 1) = 0.
5. Решите каждую часть: У нас есть два случая:
• sin(x) = 0, что дает x = 0 (в пределах нашего интервала).
• 2cos(x) - 1 = 0, откуда cos(x) = 1/2, что дает x = π/3, но это не входит в интервал 0 ≤ x ≤ π/4.
6. Определите, какая функция больше: На интервале от 0 до π/4, мы можем проверить значения функций:
• При x = 0: sin(2*0) = 0 и sin(0) = 0.
• При x = π/4: sin(2*(π/4)) = sin(π/2) = 1 и sin(π/4) = √2/2 ≈ 0.707.
7. Теперь определим площадь: Площадь области между графиками вычисляется по формуле:
• Площадь = ∫[0, π/4] (sin(2x) - sin(x)) dx.
8. Вычислите интеграл: Разделим интеграл на два:
• ∫[0, π/4] sin(2x) dx - ∫[0, π/4] sin(x) dx.
9. Вычислите первый интеграл:
• ∫ sin(2x) dx = -1/2 * cos(2x), и подставляем пределы:
• [-1/2 * cos(2*(π/4))] - [-1/2 * cos(0)] = -1/2 * (0) + 1/2 * (1) = 1/2.
10. Вычислите второй интеграл:
• ∫ sin(x) dx = -cos(x), и подставляем пределы:
• [-cos(π/4)] - [-cos(0)] = -√2/2 + 1 = 1 - √2/2.
11. Теперь подставим результаты в формулу для площади:
• Площадь = (1/2) - (1 - √2/2) = 1/2 - 1 + √2/2 = √2/2 - 1/2.

Таким образом, окончательный ответ для площади области, ограниченной графиками функций y = sin(2x) и y = sin(x) на интервале 0 ≤ x ≤ π/4, равен (√2 - 1)/2.