Сколько корней имеет уравнение:

√(4x + √(16 + 17x²)) = x + 2

Алгебра 11 класс Уравнения с корнями уравнение корни алгебра 11 класс квадратные корни решение уравнений математический анализ Новый

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение √(4x + √(16 + 17x²)) = x + 2, начнем с анализа обеих частей уравнения.

Сначала рассмотрим правую часть уравнения, x + 2. Эта функция является линейной и возрастает на всей числовой оси. Значит, она принимает все значения от -∞ до +∞.

Теперь перейдем к левой части уравнения. Рассмотрим выражение √(4x + √(16 + 17x²)). Чтобы это выражение было определено, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

• Сначала найдем, когда 4x + √(16 + 17x²) ≥ 0.

1. Найдем, когда √(16 + 17x²) ≥ 0. Это верно для всех x, так как квадратный корень всегда неотрицателен.

2. Теперь рассмотрим 4x + √(16 + 17x²) ≥ 0. Поскольку √(16 + 17x²) ≥ 0, найдем, при каких значениях x это выражение может быть неотрицательным:

• Когда 4x ≥ -√(16 + 17x²).

Однако проще будет рассмотреть границы. Для этого найдем, когда 4x + √(16 + 17x²) = 0.

Теперь обратим внимание на то, что подкоренное выражение 16 + 17x² всегда положительно, следовательно, √(16 + 17x²) > 0 для всех x. Это значит, что 4x + √(16 + 17x²) = 0 не имеет решений, а значит, левая часть уравнения всегда положительна.

Теперь мы можем исследовать, когда √(4x + √(16 + 17x²)) = x + 2.

Для того чтобы обе стороны уравнения были равны, √(4x + √(16 + 17x²)) должна быть неотрицательной и, следовательно, x + 2 также должна быть неотрицательной:

• Решим неравенство x + 2 ≥ 0, что дает x ≥ -2.

Теперь мы можем возвести обе стороны уравнения в квадрат:

4x + √(16 + 17x²) = (x + 2)².

Раскроем правую часть:

(x + 2)² = x² + 4x + 4.

Теперь у нас есть уравнение:

4x + √(16 + 17x²) = x² + 4x + 4.

Упростим его:

√(16 + 17x²) = x² + 4.

Теперь снова возведем обе стороны в квадрат:

16 + 17x² = (x² + 4)².

Раскроем правую часть:

(x² + 4)² = x^4 + 8x² + 16.

Теперь у нас есть:

16 + 17x² = x^4 + 8x² + 16.

Упростим это уравнение:

17x² = x^4 + 8x².

Переносим все в одну сторону:

0 = x^4 - 9x².

Факторизуем:

0 = x²(x² - 9).

Это уравнение имеет корни:

• x² = 0 (x = 0)
• x² - 9 = 0 (x = 3 и x = -3)

Таким образом, у нас есть три корня: x = 0, x = 3, x = -3.

Теперь проверим, какие из этих корней удовлетворяют условию x ≥ -2:

• x = 0 (принадлежит множеству)
• x = 3 (принадлежит множеству)
• x = -3 (не принадлежит множеству)

Таким образом, у уравнения √(4x + √(16 + 17x²)) = x + 2 есть два корня: x = 0 и x = 3.

Ответ: уравнение имеет 2 корня.