Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 + 2 и y = x + 4, следуем следующему алгоритму:

1. Найти точки пересечения кривых. Для этого приравняем уравнения друг к другу:
• x^2 + 2 = x + 4
2. Перепишем уравнение в стандартном виде:
• x^2 - x + 2 - 4 = 0
• x^2 - x - 2 = 0
3. Решим квадратное уравнение: Используем формулу дискриминанта D = b^2 - 4ac.
• a = 1, b = -1, c = -2
• D = (-1)^2 - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9
• Корни уравнения: x = (1 ± √9) / 2 = (1 ± 3) / 2
• Таким образом, x1 = 2 и x2 = -1.
4. Теперь находим соответствующие значения y:
• Для x = 2: y = 2 + 4 = 6.
• Для x = -1: y = -1 + 4 = 3.
5. Теперь у нас есть точки пересечения: (2, 6) и (-1, 3).
6. Найдем площадь фигуры: Для этого используем интеграл:
• Площадь = ∫ от -1 до 2 (верхняя функция - нижняя функция) dx.
• В нашем случае верхней функцией является y = x + 4, а нижней y = x^2 + 2.
• То есть, нам нужно вычислить:
• ∫ от -1 до 2 ( (x + 4) - (x^2 + 2) ) dx = ∫ от -1 до 2 ( -x^2 + x + 2 ) dx.
7. Вычисляем интеграл:
• ∫ (-x^2 + x + 2) dx = - (x^3 / 3) + (x^2 / 2) + 2x.
8. Теперь подставим границы интегрирования:
• F(2) = - (2^3 / 3) + (2^2 / 2) + 2*2 = - (8 / 3) + 2 + 4 = - (8 / 3) + 6 = 18 / 3 - 8 / 3 = 10 / 3.
• F(-1) = - ((-1)^3 / 3) + ((-1)^2 / 2) + 2*(-1) = 1/3 + 1/2 - 2 = 1/3 + 3/6 - 12/6 = 1/3 - 9/6 = 1/3 - 3/2 = 1/3 - 9/6 = -7/6.
9. Теперь находим площадь:
• Площадь = F(2) - F(-1) = (10/3) - (-7/6) = (10/3) + (7/6).
• Приведем к общему знаменателю:
• 10/3 = 20/6, тогда площадь = (20/6) + (7/6) = 27/6 = 4.5.

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 + 2 и y = x + 4, равна 4.5.