Чтобы упростить выражение 5i^{11} + 4i^{18} - 3i^{32} + 2i^{17} деленное на 2i^4 + 3i^{42} - 3i^{61}, сначала нужно вспомнить, что i - это мнимая единица, и она имеет следующие свойства:

• i^1 = i
• i^2 = -1
• i^3 = -i
• i^4 = 1
• После i^4 значения повторяются: i^5 = i, i^6 = -1, и так далее.

Теперь давайте упростим числитель:

1. 5i^{11}: 11 модуль 4 равен 3, значит, i^{11} = i^3 = -i. Умножаем: 5 * (-i) = -5i.
2. 4i^{18}: 18 модуль 4 равен 2, значит, i^{18} = i^2 = -1. Умножаем: 4 * (-1) = -4.
3. -3i^{32}: 32 модуль 4 равен 0, значит, i^{32} = i^0 = 1. Умножаем: -3 * 1 = -3.
4. 2i^{17}: 17 модуль 4 равен 1, значит, i^{17} = i^1 = i. Умножаем: 2 * i = 2i.

Теперь подставим упрощенные значения в числитель:

Числитель = -5i - 4 - 3 + 2i = -7 - 3i.

Теперь упростим знаменатель:

1. 2i^4: i^4 = 1, значит, 2 * 1 = 2.
2. 3i^{42}: 42 модуль 4 равен 2, значит, i^{42} = i^2 = -1. Умножаем: 3 * (-1) = -3.
3. -3i^{61}: 61 модуль 4 равен 1, значит, i^{61} = i^1 = i. Умножаем: -3 * i = -3i.

Теперь подставим упрощенные значения в знаменатель:

Знаменатель = 2 - 3 - 3i = -1 - 3i.

Теперь у нас есть следующее выражение:

(-7 - 3i) / (-1 - 3i).

Чтобы упростить это дробное выражение, умножим числитель и знаменатель на сопряженное значение знаменателя (-1 + 3i):

1. Числитель: (-7 - 3i)(-1 + 3i) = 7 - 21i + 3i - 9 = -2 - 18i.
2. Знаменатель: (-1 - 3i)(-1 + 3i) = 1 - 9 = -8.

Теперь у нас есть:

(-2 - 18i) / -8.

Разделим каждый элемент числителя на -8:

(1/4 + 9/4i).

Таким образом, окончательный ответ:

1/4 + 9/4i.