Давайте упростим каждое из предложенных неравенств по очереди.

Для начала определим, когда произведение двух множителей (x-6) и (x+9)^2 будет больше или равно нулю.

• Первый множитель (x-6) равен нулю, когда x = 6.
• Второй множитель (x+9)^2 равен нулю, когда x = -9. Заметьте, что (x+9)^2 всегда больше или равно нулю для всех x, так как это квадрат.

Теперь мы можем определить знаки каждого множителя на интервалах, которые образуются этими точками:

• Интервал (-∞, -9): (x-6) < 0 и (x+9)^2 > 0, значит, произведение < 0.
• Точка x = -9: (x-6) < 0 и (x+9)^2 = 0, значит, произведение = 0.
• Интервал (-9, 6): (x-6) < 0 и (x+9)^2 > 0, значит, произведение < 0.
• Точка x = 6: (x-6) = 0 и (x+9)^2 > 0, значит, произведение = 0.
• Интервал (6, +∞): (x-6) > 0 и (x+9)^2 > 0, значит, произведение > 0.

Таким образом, неравенство (x-6)(x+9)^2 ≥ 0 выполняется при:

x ≤ -9 или x ≥ 6.

Перепишем неравенство:

12 - x ≥ 0 (x + 6)

Теперь раскроем скобки:

12 - x ≥ 0

12 ≥ x + 6

12 - 6 ≥ x

6 ≥ x, или x ≤ 6.

Теперь определим, когда знаменатель (x + 6) не равен нулю:

x + 6 ≠ 0, значит, x ≠ -6.

Теперь проверим знак выражения:

• Когда x < -6: 12 - x > 0 и x + 6 < 0, значит, дробь положительна.
• Когда -6 < x ≤ 6: 12 - x > 0 и x + 6 > 0, дробь положительна.

Таким образом, неравенство 12 - x / (x + 6) ≥ 0 выполняется при:

x < -6 или -6 < x ≤ 6.

Для начала вынесем общий множитель:

x(x^2 - 100) < 0.

Теперь заметим, что x^2 - 100 можно разложить на множители:

x(x - 10)(x + 10) < 0.

Теперь определим корни этого произведения:

• x = 0, x = 10, x = -10.

Теперь определим знаки на интервалах:

• Интервал (-∞, -10): все множители < 0, значит, произведение > 0.
• Интервал (-10, 0): x < 0, (x - 10) < 0, (x + 10) > 0, значит, произведение < 0.
• Интервал (0, 10): x > 0, (x - 10) < 0, (x + 10) > 0, значит, произведение < 0.
• Интервал (10, +∞): все множители > 0, значит, произведение > 0.

Таким образом, неравенство x^3 - 100x < 0 выполняется при:

-10 < x < 0 или 0 < x < 10.

В итоге, мы упростили все три неравенства:

1. (x-6)(x+9)^2 ≥ 0 при x ≤ -9 или x ≥ 6.
2. 12 - x / (x + 6) ≥ 0 при x < -6 или -6 < x ≤ 6.
3. x^3 - 100x < 0 при -10 < x < 0 или 0 < x < 10.