Упростите следующие выражения:

1. (1/sin^2a) - (ctg^2a) - (cos^2b)
2. (ctg^2a - cos^2a) * ((1/cos^2a) - 1)

Алгебра 11 класс Тригонометрические выражения и их упрощение упрощение выражений алгебра 11 класс тригонометрические функции ctg sin cos математические выражения Новый

Давайте упростим оба выражения по шагам.

Первое выражение: (1/sin^2a) - (ctg^2a) - (cos^2b)

• Напомним, что cotg (косинус) можно выразить через синус и косинус: ctg^2a = cos^2a / sin^2a.
• Таким образом, первое выражение можно переписать как:
• (1/sin^2a) - (cos^2a/sin^2a) - (cos^2b).
• Теперь приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет sin^2a:
• (1 - cos^2a) / sin^2a - cos^2b.
• Используем тригонометрическую тождество: 1 - cos^2a = sin^2a.
• Теперь подставим это в выражение:
• (sin^2a / sin^2a) - cos^2b = 1 - cos^2b.
• По аналогии, 1 - cos^2b = sin^2b.
• Таким образом, первое выражение упрощается до:
• sin^2b.

Второе выражение: (ctg^2a - cos^2a) * ((1/cos^2a) - 1)

• Сначала упростим вторую часть выражения: (1/cos^2a) - 1.
• Это можно записать как (1 - cos^2a) / cos^2a.
• Как мы уже знаем, 1 - cos^2a = sin^2a, поэтому:
• (1/cos^2a) - 1 = sin^2a / cos^2a.
• Теперь подставим это обратно во второе выражение:
• (ctg^2a - cos^2a) * (sin^2a / cos^2a).
• Помним, что ctg^2a = cos^2a / sin^2a, тогда:
• (cos^2a / sin^2a - cos^2a) * (sin^2a / cos^2a).
• Теперь приведем к общему знаменателю в первой части:
• (cos^2a - cos^2a * sin^2a) / sin^2a * (sin^2a / cos^2a).
• Сократим sin^2a:
• (cos^2a (1 - sin^2a)) / cos^2a = 1 - sin^2a.
• И, как мы знаем, 1 - sin^2a = cos^2a.
• Таким образом, второе выражение упрощается до:
• cos^2a.

Итак, подводя итог:

• Первое выражение упрощается до: sin^2b.
• Второе выражение упрощается до: cos^2a.