Для упрощения данного выражения мы будем следовать нескольким шагам. Начнем с того, что упростим каждую из дробей и затем произведем деление.

Первая дробь имеет вид:

(a - 3) / (a^2 - 3a + 9)

Нам нужно проверить, можно ли упростить знаменатель. Знаменатель можно разложить на множители:

• Дискриминант D = (-3)^2 - 4 * 1 * 9 = 9 - 36 = -27 (меньше нуля), значит, он не имеет действительных корней.

Следовательно, мы не можем упростить первую дробь дальше.

Вторая дробь имеет вид:

(6a - 18) / (a^3 + 27)

Знаменатель a^3 + 27 можно разложить по формуле суммы кубов:

a^3 + 27 = (a + 3)(a^2 - 3a + 9)

Числитель можно упростить:

6a - 18 = 6(a - 3)

Теперь подставим это в дробь:

(6(a - 3)) / ((a + 3)(a^2 - 3a + 9))

Третья дробь имеет вид:

(5a - 15) / (4a^3 + 108)

Числитель можно упростить:

5a - 15 = 5(a - 3)

Знаменатель 4a^3 + 108 можно вынести общий множитель 4:

4(a^3 + 27) = 4(a + 3)(a^2 - 3a + 9)

Таким образом, третья дробь становится:

(5(a - 3)) / (4(a + 3)(a^2 - 3a + 9))

Теперь мы можем записать всё выражение:

((a - 3) / (a^2 - 3a + 9) - (6(a - 3)) / ((a + 3)(a^2 - 3a + 9))) : (5(a - 3)) / (4(a + 3)(a^2 - 3a + 9))

Деление дробей можно заменить на умножение на обратную дробь:

((a - 3) / (a^2 - 3a + 9) - (6(a - 3)) / ((a + 3)(a^2 - 3a + 9))) * (4(a + 3)(a^2 - 3a + 9)) / (5(a - 3))

Теперь у нас есть:

(4(a + 3) * ((a - 3) / (a^2 - 3a + 9) - (6(a - 3)) / ((a + 3)(a^2 - 3a + 9)))) / (5(a - 3))

Сначала упростим выражение в скобках:

Общий знаменатель - (a + 3)(a^2 - 3a + 9):

• Первый дробь: (a - 3)(a + 3)
• Второй дробь: -6(a - 3)

Теперь объединим дроби:

((a - 3)(a + 3) - 6(a - 3)) / ((a + 3)(a^2 - 3a + 9))

Факторизуем (a - 3):

(a - 3)((a + 3) - 6) / ((a + 3)(a^2 - 3a + 9)) = (a - 3)(a - 3) / ((a + 3)(a^2 - 3a + 9))

Теперь подставляем это обратно в наше выражение:

(4(a + 3)(a - 3)(a - 3) / ((a + 3)(a^2 - 3a + 9))) / (5(a - 3))

Сокращаем (a - 3) и (a + 3):

(4(a - 3)) / (5(a^2 - 3a + 9))

Упрощенное выражение:

(4(a - 3)) / (5(a^2 - 3a + 9))