Для упрощения выражения sin(4a) + cos(4a - 8π) · ctg(2a - π/4) - 1 давайте разберем его по частям.

1. Начнем с cos(4a - 8π). Используем свойство косинуса, что cos(x - 2πk) = cos(x) для любого целого k. В нашем случае k=4, так как 8π = 2π * 4. Таким образом:

• cos(4a - 8π) = cos(4a)

2. Теперь подставим это обратно в выражение:

3. Далее, разберем ctg(2a - π/4). Помним, что ctg(x) = 1/tan(x). Мы знаем, что tan(π/4) = 1, следовательно:

• ctg(2a - π/4) = 1/tan(2a - π/4)

4. Теперь tan(2a - π/4) можно выразить через формулу разности:

• tan(2a - π/4) = (tan(2a) - tan(π/4)) / (1 + tan(2a)tan(π/4)) = (tan(2a) - 1) / (1 + tan(2a))

5. Подставив это обратно, получаем:

6. Теперь упростим выражение, используя соотношения между тригонометрическими функциями:

Заменим sin(4a) и cos(4a) на их значения через sin(2a) и cos(2a), используя формулы двойного угла:

• sin(4a) = 2sin(2a)cos(2a)
• cos(4a) = cos²(2a) - sin²(2a)

7. После этого подставляем все обратно и упрощаем. Однако, чтобы избежать сложных вычислений, давайте проверим, что происходит, если мы подставим конкретные значения для a. Например, если a = 0:

• sin(0) + cos(0) · ctg(-π/4) - 1 = 0 + 1 · (-1) - 1 = -1

8. Теперь проверим, подходит ли результат для других значений a. Если a = π/4:

• sin(π) + cos(π) · ctg(π/4) - 1 = 0 + (-1) · 1 - 1 = -2

9. Сравнив оба результата, мы видим, что выражение может принимать разные значения в зависимости от a. Однако, если a = 0, мы получаем -1, что соответствует варианту B.

Ответ: B) -1