Для решения задачи начнем с определения общего члена арифметической прогрессии.

Обозначим первый член прогрессии как a1, а разность прогрессии как d. Тогда n-ый член арифметической прогрессии можно выразить формулой:

a_n = a1 + (n - 1) * d

Теперь запишем уравнения для a8 и a13:

• a8 = a1 + 7d = 4
• a13 = a1 + 12d = 7.5

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. a1 + 7d = 4 (1)
2. a1 + 12d = 7.5 (2)

Теперь вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

(a1 + 12d) - (a1 + 7d) = 7.5 - 4

Это упрощается до:

5d = 3.5

Теперь найдем d:

d = 3.5 / 5 = 0.7

Теперь подставим значение d в одно из уравнений, например, в уравнение (1):

a1 + 7 * 0.7 = 4

a1 + 4.9 = 4

Следовательно:

a1 = 4 - 4.9 = -0.9

Теперь мы знаем первый член и разность прогрессии:

a1 = -0.9, d = 0.7

Теперь можем найти сумму первых n членов арифметической прогрессии по формуле:

S_n = n/2 * (2a1 + (n - 1)d)

В нашем случае n = 30:

S_30 = 30/2 * (2 * -0.9 + (30 - 1) * 0.7)

Сначала найдем 2 * -0.9:

2 * -0.9 = -1.8

Теперь найдем (30 - 1) * 0.7:

29 * 0.7 = 20.3

Теперь подставим это в формулу:

S_30 = 15 * (-1.8 + 20.3)

Сначала найдем -1.8 + 20.3:

-1.8 + 20.3 = 18.5

Теперь подставим это значение в формулу суммы:

S_30 = 15 * 18.5 = 277.5

Таким образом, сумма первых тридцати членов данной арифметической прогрессии равна 277.5.