Давайте разберем каждую из предложенных задач по геометрической прогрессии. В общем случае, геометрическая прогрессия описывается формулой:

a_n = b_1 * q^(n-1)

где:

• a_n - n-й член прогрессии,
• b_1 - первый член прогрессии,
• q - знаменатель прогрессии (коэффициент),
• n - номер члена прогрессии.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

S_n = b_1 * (1 - q^n) / (1 - q) (если q ≠ 1).

Теперь рассмотрим каждый случай по отдельности.

1. Случай 1: b_1 = 243, q = 3, n = 6
   • Находим 6-й член прогрессии:

   a_6 = 243 * 3^(6-1) = 243 * 3^5 = 243 * 243 = 59049.

   • Теперь находим сумму первых 6 членов:

   S_6 = 243 * (1 - 3^6) / (1 - 3) = 243 * (1 - 729) / (-2) = 243 * (-728) / (-2) = 243 * 364 = 88452.

2. Случай 2: b_1 = -q^2, q = 1, n = 5
   • Здесь q = 1, значит, прогрессия постоянная:

   a_n = b_1 для всех n. Подставляем b_1 = -1^2 = -1.

   • Следовательно, все члены равны -1, и сумма:

   S_5 = -1 * 5 = -5.

3. Случай 3: b_1 = 20, q = -0.1, n = 5
   • Находим 5-й член прогрессии:

   a_5 = 20 * (-0.1)^(5-1) = 20 * (-0.1)^4 = 20 * 0.0001 = 0.002.

   • Теперь находим сумму первых 5 членов:

   S_5 = 20 * (1 - (-0.1)^5) / (1 - (-0.1)) = 20 * (1 - (-0.00001)) / (1 + 0.1) = 20 * (1 + 0.00001) / 1.1.

   Приблизительно S_5 = 20 * 1.00001 / 1.1 ≈ 18.18.

4. Случай 4: b_1 = 3, q = √5, n = 5
   • Находим 5-й член прогрессии:

   a_5 = 3 * (√5)^(5-1) = 3 * (√5)^4 * √5 = 3 * 5^2 * √5 = 75√5.

   • Теперь находим сумму первых 5 членов:

   S_5 = 3 * (1 - (√5)^5) / (1 - √5) = 3 * (1 - 5√5) / (1 - √5).

Теперь у вас есть подробные шаги для решения каждой из задач по геометрической прогрессии. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!