Похожие вопросы
2025-10-19 17:30:25
В8
PT
14
Какое произведение корней уравнения
(3-2√2)^(x/2) + (3+2√2)^(x/2) = 34?
Мой ответ
Алгебра 11 класс Уравнения с переменной в показателе алгебра 11 класс произведение корней уравнение (3-2√2)^(x/2) (3+2√2)^(x/2) решение уравнения математические задачи корни уравнения
2025-10-19 17:30:38
Для решения уравнения (3-2√2)^(x/2) + (3+2√2)^(x/2) = 34, начнем с упрощения выражений в левой части уравнения.
Обозначим:
- y = (3 - 2√2)^(x/2)
- z = (3 + 2√2)^(x/2)
Тогда уравнение можно переписать как:
y + z = 34
Теперь заметим, что:
- (3 - 2√2) и (3 + 2√2) - это конjugate числа, и их произведение можно найти:
Произведение:
(3 - 2√2)(3 + 2√2) = 3^2 - (2√2)^2 = 9 - 8 = 1
Таким образом, мы имеем:
y * z = 1
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- y + z = 34
- y * z = 1
Решим эту систему. Подставим z = 34 - y в второе уравнение:
y * (34 - y) = 1
Раскроем скобки:
34y - y^2 = 1
Перепишем уравнение в стандартной форме:
y^2 - 34y + 1 = 0
Теперь применим формулу для решения квадратного уравнения:
y = (34 ± √(34^2 - 4 * 1 * 1)) / 2
Сначала найдем дискриминант:
D = 34^2 - 4 * 1 * 1 = 1156 - 4 = 1152
Теперь найдем корни:
y = (34 ± √1152) / 2
Упростим √1152:
√1152 = √(144 * 8) = 12√8 = 12 * 2√2 = 24√2
Теперь подставим это обратно:
y = (34 ± 24√2) / 2
Таким образом, получаем два корня:
- y1 = (34 + 24√2) / 2
- y2 = (34 - 24√2) / 2
Теперь найдем значение z для каждого y:
- z1 = 1/y1 = 2/(34 + 24√2)
- z2 = 1/y2 = 2/(34 - 24√2)
Нам нужно найти произведение корней уравнения. Так как y и z являются корнями, то произведение корней можно найти как:
y1 * y2 = 1
Таким образом, произведение корней уравнения:
Произведение корней уравнения равно 1.