Вариант 4.

1. В арифметической прогрессии первый член равен 23, а разность равна 5. Какова формула n-го члена прогрессии и как вычислить её семидесятый член?
2. Как найти сумму первых четырнадцати членов арифметической прогрессии a n, если a1 = 14, а a2 = 18?
3. Как доказать, что последовательность a n = 5 + 2n является арифметической прогрессией?

Алгебра 11 класс Арифметическая прогрессия арифметическая прогрессия формула n-го члена сумма членов прогрессии доказательство арифметической прогрессии вычисление членов прогрессии Новый

Давайте разберем каждую из задач по порядку.

1. Формула n-го члена арифметической прогрессии и вычисление ее семидесятого члена.

В арифметической прогрессии n-й член можно найти по формуле:

a_n = a_1 + (n - 1) * d

где:

• a_n - n-й член прогрессии,
• a_1 - первый член прогрессии,
• d - разность прогрессии,
• n - номер члена прогрессии.

В нашем случае:

• a_1 = 23,
• d = 5.

Теперь подставим значения в формулу:

a_n = 23 + (n - 1) * 5

Для семидесятого члена (n = 70):

a_70 = 23 + (70 - 1) * 5

a_70 = 23 + 69 * 5

a_70 = 23 + 345

a_70 = 368.

Итак, семидесятый член прогрессии равен 368.

2. Нахождение суммы первых четырнадцати членов арифметической прогрессии.

Сначала найдем разность прогрессии. У нас есть первый член:

a_1 = 14

и второй член:

a_2 = 18.

Разность:

d = a_2 - a_1 = 18 - 14 = 4.

Теперь мы можем использовать формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии:

S_n = (n / 2) * (a_1 + a_n)

Где:

• S_n - сумма первых n членов,
• a_n - n-й член прогрессии.

Сначала найдем 14-й член:

a_14 = a_1 + (14 - 1) * d

a_14 = 14 + (13 * 4)

a_14 = 14 + 52 = 66.

Теперь подставим в формулу суммы:

S_14 = (14 / 2) * (14 + 66)

S_14 = 7 * 80 = 560.

Таким образом, сумма первых четырнадцати членов равна 560.

3. Доказательство, что последовательность a_n = 5 + 2n является арифметической прогрессией.

Чтобы доказать, что последовательность является арифметической прогрессией, нам нужно показать, что разность между любыми двумя последовательными членами постоянна.

Рассмотрим два последовательных члена:

• a_n = 5 + 2n,
• a_(n+1) = 5 + 2(n + 1) = 5 + 2n + 2 = a_n + 2.

Теперь найдем разность:

a_(n+1) - a_n = (5 + 2(n + 1)) - (5 + 2n) = 2.

Поскольку разность между любыми двумя последовательными членами равна 2, это доказывает, что последовательность является арифметической прогрессией с разностью d = 2.

Таким образом, мы рассмотрели все три задачи. Если у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, задавайте!