Давайте решим каждое из данных неравенств по порядку.

Это неравенство говорит нам о том, что косинус угла x должен быть меньше, чем sqrt(3)/2. Мы знаем, что cos x = sqrt(3)/2 при x = π/6 и x = 11π/6 (в пределах одного полного оборота). Таким образом, мы ищем интервалы, где cos x меньше этого значения.

• cos x < sqrt(3)/2 на интервале (π/6, 5π/6) и (7π/6, 11π/6).

Ответ: x ∈ (π/6 + 2kπ, 5π/6 + 2kπ) ∪ (7π/6 + 2kπ, 11π/6 + 2kπ), где k - целое число.

Здесь мы ищем значения x, для которых синус меньше или равен 1/2. Синус равен 1/2 при x = π/6 и x = 5π/6. Мы ищем интервалы, где sin x меньше или равно этому значению.

• sin x ≤ 1/2 на интервале [0, π/6] и [5π/6, 2π].

Ответ: x ∈ [0 + 2kπ, π/6 + 2kπ] ∪ [5π/6 + 2kπ, 2π + 2kπ), где k - целое число.

Сначала мы можем решить уравнение 2sin^2x - sin x - 3 = 0. Для этого используем дискриминант:

• D = (-1)^2 - 4 * 2 * (-3) = 1 + 24 = 25.

Теперь находим корни:

• sin x = (1 ± sqrt(25)) / (2 * 2) = (1 ± 5) / 4.
• sin x = 6/4 = 3/2 (не подходит) и sin x = -4/4 = -1.

Таким образом, у нас есть один корень: sin x = -1. Теперь мы можем найти интервалы, где 2sin^2x - sin x - 3 < 0. Это происходит между корнями, если они есть, и за пределами корней.

• 2sin^2x - sin x - 3 < 0 на интервале (-1, 1).

Ответ: x ∈ [3π/2 + 2kπ, 2π + 2kπ), где k - целое число.

Сначала решим уравнение 2cos^2x - 3cos x - 2 = 0. Находим дискриминант:

• D = (-3)^2 - 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 25.

Теперь находим корни:

• cos x = (3 ± sqrt(25)) / (2 * 2) = (3 ± 5) / 4.
• cos x = 8/4 = 2 (не подходит) и cos x = -2/4 = -1/2.

Таким образом, у нас есть один корень: cos x = -1/2. Теперь мы находим интервалы, где 2cos^2x - 3cos x - 2 > 0. Это происходит за пределами корней.

• 2cos^2x - 3cos x - 2 > 0 на интервалах (-∞, -1/2) и (1, +∞).

Ответ: x ∈ (2π/3 + 2kπ, π + 2kπ) ∪ (5π/3 + 2kπ, 2π + 2kπ), где k - целое число.

На этом мы закончили решение всех неравенств. Если у вас есть вопросы, не стесняйтесь спрашивать!