1) Найдите производную отношения: (x^2-5x+6)/(x+1).

Для нахождения производной отношения двух функций мы будем использовать правило частного. Если у нас есть функция вида u(x)/v(x), то производная этой функции вычисляется по формуле:

(u/v)' = (u'v - uv')/v^2,

где u' и v' - производные функций u и v соответственно.

В нашем случае:

• u(x) = x^2 - 5x + 6
• v(x) = x + 1

Теперь найдем производные u' и v':

• u' = 2x - 5
• v' = 1

Теперь подставим все в формулу:

(u/v)' = ((2x - 5)(x + 1) - (x^2 - 5x + 6)(1))/(x + 1)^2.

Упростим числитель:

• (2x - 5)(x + 1) = 2x^2 + 2x - 5x - 5 = 2x^2 - 3x - 5
• (x^2 - 5x + 6)(1) = x^2 - 5x + 6

Теперь подставим это в числитель:

2x^2 - 3x - 5 - (x^2 - 5x + 6) = 2x^2 - 3x - 5 - x^2 + 5x - 6 = x^2 + 2x - 11.

Таким образом, производная функции равна:

(x^2 + 2x - 11)/(x + 1)^2.

2) Найдите производную сложной функции: ctg^15(x).

Для нахождения производной сложной функции мы будем использовать правило производной сложной функции (цепное правило). Если у нас есть функция вида g(f(x)), то производная вычисляется по формуле:

(g(f(x)))' = g'(f(x)) * f'(x).

В нашем случае g(x) = x^15 и f(x) = ctg(x). Сначала найдем производные g' и f':

• g'(x) = 15x^14
• f'(x) = -csc^2(x)

Теперь подставим в формулу:

(ctg^15(x))' = 15 * ctg^14(x) * (-csc^2(x)) = -15 * ctg^14(x) * csc^2(x).

3) Вычислите значение производной функции f(x)=ln(x+1) в точке x0 = 1/16.

Сначала найдем производную функции f(x) = ln(x + 1). Производная этой функции равна:

f'(x) = 1/(x + 1).

Теперь подставим x0 = 1/16:

f'(1/16) = 1/(1/16 + 1) = 1/(1/16 + 16/16) = 1/(17/16) = 16/17.

Таким образом, значение производной в точке x0 = 1/16 равно 16/17.

4) Выпишите уравнение касательной функции f(x)=ln(x+1) в точке с абсциссой x < 0.

Для нахождения уравнения касательной нам необходимо знать производную функции и значение самой функции в данной точке. Предположим, что мы берем точку x = -1 (это точка с абсциссой меньше 0).

Сначала найдем значение функции в этой точке:

f(-1) = ln(-1 + 1) = ln(0),

что определено как бесконечность. Поэтому выберем другую точку, например, x = -0.5.

Теперь найдем значение функции:

f(-0.5) = ln(-0.5 + 1) = ln(0.5).

Теперь найдем производную в этой точке:

f'(-0.5) = 1/(-0.5 + 1) = 1/0.5 = 2.

Теперь мы можем записать уравнение касательной, используя точку (-0.5, ln(0.5)) и наклон 2:

y - ln(0.5) = 2(x + 0.5).

Упростим это уравнение:

y = 2x + 1 + ln(0.5).

5) Найдите мгновенную скорость в момент времени t = 16 секунд материальной точки, движущейся по прямой по закону s(t)=0.5t^2-5t+1.

Чтобы найти мгновенную скорость, нужно найти производную функции s(t). Производная функции s(t) будет равна:

s'(t) = d(0.5t^2 - 5t + 1)/dt = t - 5.

Теперь подставим t = 16:

s'(16) = 16 - 5 = 11 м/с.

Таким образом, мгновенная скорость в момент времени t = 16 секунд равна 11 м/с.