а) o(1) + o(1) = o(1);

Это утверждение верно. Функция o(1) обозначает, что при x стремящемся к 0, значение функции стремится к 0 быстрее, чем константа. Если мы сложим две такие функции, их сумма также будет стремиться к 0 быстрее, чем константа. Таким образом, o(1) + o(1) действительно равно o(1).

б) o(1) - o(1) = 0;

Это утверждение неверно. Хотя обе функции o(1) стремятся к 0, их разность не обязательно равна 0, так как они могут иметь разные скорости стремления к 0. Например, если одна функция стремится к 0 быстрее, чем другая, то их разность будет стремиться к некоторому значению, отличному от 0.

в) O(x^3) = o(x^3);

Это утверждение неверно. O(x^3) включает в себя функции, которые могут стремиться к 0 с той же скоростью, что и x^3, а также быстрее. В то время как o(x^3) строго обозначает функции, которые стремятся к 0 быстрее, чем x^3. Поэтому O(x^3) не может быть равно o(x^3).

г) e^{O(1)} = O(1);

Это утверждение верно. Если функция f(x) принадлежит O(1), то она ограничена некоторой константой при x, стремящемся к 0. Экспонента ограниченной функции также будет оставаться ограниченной, поэтому e^{O(1)} будет принадлежать O(1).

д) (x + x^2 + o(x^2))^2 = x^2 + o(x^2);

Это утверждение верно. Когда мы возводим в квадрат сумму, то получаем: (x + x^2 + o(x^2))^2 = x^2 + 2x(x^2) + (x^2)^2 + 2x(o(x^2)) + 2x^2(o(x^2)) + (o(x^2))^2. При x стремящемся к 0, все дополнительные слагаемые будут принадлежать o(x^2), и, следовательно, результат будет равен x^2 + o(x^2).

е) (x + x^2 + o(x^2))^2 = x^2 + o(x^3);

Это утверждение неверно. Как мы уже выяснили, (x + x^2 + o(x^2))^2 дает x^2 + o(x^2). Однако o(x^2) не обязательно равно o(x^3), так как o(x^2) может включать в себя функции, которые не стремятся к 0 быстрее, чем x^3. Таким образом, это равенство не справедливо.

Итак, резюмируем:

• а) Верно
• б) Неверно
• в) Неверно
• г) Верно
• д) Верно
• е) Неверно