Чтобы построить график функции y = 0,5sin(x) + 2 на заданном промежутке -π < x < π, а также определить точки экстремума и сами экстремумы, следуем следующим шагам:

• Функция y = 0,5sin(x) + 2 является синусоидальной функцией с амплитудой 0,5 и сдвигом вверх на 2 единицы.
• Период синуса равен 2π, что означает, что на промежутке -π < x < π функция пройдет полпериода.

• Для построения графика функции начнем с вычисления значений функции в нескольких ключевых точках на промежутке -π < x < π.
• Ключевые точки: -π, -π/2, 0, π/2, π.
• Теперь вычислим значения:
• y(-π) = 0,5sin(-π) + 2 = 0 + 2 = 2
• y(-π/2) = 0,5sin(-π/2) + 2 = 0,5*(-1) + 2 = 1,5
• y(0) = 0,5sin(0) + 2 = 0 + 2 = 2
• y(π/2) = 0,5sin(π/2) + 2 = 0,5*1 + 2 = 2,5
• y(π) = 0,5sin(π) + 2 = 0 + 2 = 2
• Теперь имеем следующие точки: (-π, 2), (-π/2, 1,5), (0, 2), (π/2, 2,5), (π, 2).
• Соединив эти точки, мы получим график функции, который будет колебаться между 1,5 и 2,5, с максимальным значением в точке (π/2, 2,5) и минимальным значением в точке (-π/2, 1,5).

• Экстремумы функции определяются в точках, где производная функции равна нулю или не существует.
• Находим производную функции:
• y' = 0,5cos(x).
• Приравниваем производную к нулю:
• 0,5cos(x) = 0.
• cos(x) = 0.
• Решаем уравнение cos(x) = 0 на промежутке -π < x < π:
• x = -π/2 и x = π/2.

• Теперь подставим найденные значения x в исходную функцию:
• Для x = -π/2: y(-π/2) = 1,5 (минимум).
• Для x = π/2: y(π/2) = 2,5 (максимум).

Таким образом, на промежутке -π < x < π у нас есть:

• Минимум в точке (-π/2, 1,5).
• Максимум в точке (π/2, 2,5).