Вопрос по алгебре:

На доске написано число 2015 и несколько (не менее двух) различных натуральных чисел, каждое из которых не превышает 5000. Сумма любых двух написанных чисел делится на одно из остальных чисел.

1. Может ли на доске быть написано ровно 1009 чисел?
2. Может ли на доске быть написано ровно пять чисел?

Алгебра 11 класс Комбинаторная алгебра алгебра 11 класс задача по алгебре делимость чисел сумма чисел натуральные числа математическая задача свойства чисел количество чисел условия задачи решение задачи Новый

Давайте рассмотрим оба вопроса по отдельности.

1. Может ли на доске быть написано ровно 1009 чисел?

Для начала, обратим внимание на условие: сумма любых двух написанных чисел должна делиться на одно из остальных чисел. Это означает, что для каждого числа на доске должно выполняться свойство делимости.

Предположим, что на доске написано 1009 чисел. Обозначим их как a1, a2, ..., a1009. Из условия следует, что для любых i и j (где i ≠ j) сумма ai + aj должна делиться на одно из оставшихся чисел.

Если мы рассмотрим число 2015, то заметим, что оно является нечетным. При сложении двух нечетных чисел получится четное число, а четное число не может делиться на нечетное (в данном случае 2015). Таким образом, если на доске есть только нечетные числа, то мы не сможем удовлетворить условие делимости.

Однако, если среди 1009 чисел есть четные числа, то возможны различные комбинации, которые могут удовлетворить условие. Но учитывая, что 1009 - это нечетное число, и при сложении нечетного с четным всегда получится нечетное число, мы сталкиваемся с проблемой.

Таким образом, можно сделать вывод, что на доске не может быть написано ровно 1009 чисел.

2. Может ли на доске быть написано ровно пять чисел?

Теперь рассмотрим случай, когда на доске написано ровно пять чисел. Обозначим их как b1, b2, b3, b4 и b5.

По аналогии с предыдущим рассуждением, для каждой пары чисел bi и bj (где i ≠ j) сумма bi + bj должна делиться на одно из оставшихся чисел. Поскольку у нас всего пять чисел, это значительно упрощает ситуацию.

Рассмотрим, например, набор чисел, который включает 1, 2, 3, 6 и 2015:

• 1 + 2 = 3, делится на 3;
• 1 + 3 = 4, делится на 2;
• 1 + 6 = 7, не делится ни на одно из оставшихся;
• 2 + 3 = 5, не делится ни на одно из оставшихся;
• 2 + 6 = 8, делится на 2;
• 3 + 6 = 9, делится на 3;
• 2015 + любое из других чисел также будет делиться на 2015 или на 1.

Таким образом, можно подобрать такие числа, чтобы все условия выполнялись. Например, если взять числа 1, 2, 3, 4 и 6, то:

• 1 + 2 = 3, делится на 3;
• 1 + 3 = 4, делится на 4;
• 1 + 4 = 5, делится на 1;
• 2 + 3 = 5, делится на 1;
• 2 + 4 = 6, делится на 6;
• 3 + 4 = 7, не делится на 1.

Таким образом, мы можем подобрать такие числа, чтобы условие выполнялось. Поэтому на доске может быть написано ровно пять чисел.

В итоге:

• На доске не может быть 1009 чисел;
• На доске может быть 5 чисел.