Давайте вычислим оба интеграла по очереди, подробно разбирая каждый шаг.

1. Интеграл от 4x√x + 4 dx

Сначала упростим выражение под интегралом. Мы знаем, что √x = x^(1/2), поэтому 4x√x можно записать как 4x * x^(1/2) = 4x^(3/2).

Таким образом, интеграл можно переписать следующим образом:

• ∫(4x^(3/2) + 4) dx

Теперь мы можем разбить интеграл на два отдельных интеграла:

• ∫4x^(3/2) dx + ∫4 dx

Теперь вычислим каждый из интегралов по отдельности.

Для первого интеграла ∫4x^(3/2) dx используем правило интегрирования степени:

∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, где C - константа интегрирования.

В нашем случае n = 3/2, поэтому:

• ∫4x^(3/2) dx = 4 * (x^(3/2 + 1))/(3/2 + 1) = 4 * (x^(5/2))/(5/2) = (8/5) * x^(5/2).

Теперь вычислим второй интеграл ∫4 dx:

• ∫4 dx = 4x.

Теперь объединим результаты:

• ∫(4x√x + 4) dx = (8/5)x^(5/2) + 4x + C.

2. Интеграл от (14sin(7x) - x^(-3) - 4/x^5 + 1.8) dx

Разобьем этот интеграл на несколько частей:

• ∫14sin(7x) dx - ∫x^(-3) dx - ∫(4/x^5) dx + ∫1.8 dx.

Теперь вычислим каждый интеграл по отдельности.

1. Для ∫14sin(7x) dx используем правило интегрирования синуса:

• ∫sin(kx) dx = -1/k * cos(kx) + C, где k = 7.

Таким образом:

• ∫14sin(7x) dx = -14/7 * cos(7x) = -2cos(7x).

2. Для ∫x^(-3) dx:

• ∫x^(-3) dx = (x^(-2))/(-2) = -1/(2x^2).

3. Для ∫(4/x^5) dx:

• ∫(4/x^5) dx = 4 * ∫x^(-5) dx = 4 * (-1/4x^4) = -1/x^4.

4. Для ∫1.8 dx:

• ∫1.8 dx = 1.8x.

Теперь объединим все результаты:

• ∫(14sin(7x) - x^(-3) - 4/x^5 + 1.8) dx = -2cos(7x) + 1/(2x^2) + 1/x^4 + 1.8x + C.

Таким образом, окончательные результаты интегралов:

• ∫(4x√x + 4) dx = (8/5)x^(5/2) + 4x + C.
• ∫(14sin(7x) - x^(-3) - 4/x^5 + 1.8) dx = -2cos(7x) + 1/(2x^2) + 1/x^4 + 1.8x + C.