Для вычисления объема тела, получаемого при вращении фигуры вокруг оси абсцисс, мы будем использовать метод дисков. Сначала нам нужно определить границы интегрирования и найти точки пересечения кривых, которые задают фигуру.

Даны две функции:

• y = x² + 1
• y = 5 - x²

Чтобы найти точки пересечения, приравняем эти два уравнения:

x² + 1 = 5 - x²

Теперь решим это уравнение:

1. Переносим все члены в одну сторону:
2. 2x² - 4 = 0
3. Упрощаем уравнение:
4. x² = 2
5. Таким образом, x = ±√2.

Теперь мы знаем, что фигура ограничена по оси x от -√2 до √2.

Теперь найдем объем тела вращения. Объем V можно найти по формуле:

V = π ∫[a, b] (R² - r²) dx,

где R - верхняя функция, r - нижняя функция, а a и b - границы интегрирования.

В нашем случае:

• R = 5 - x² (верхняя функция)
• r = x² + 1 (нижняя функция)
• a = -√2
• b = √2

Теперь подставим значение в формулу объема:

V = π ∫[-√2, √2] ((5 - x²)² - (x² + 1)²) dx.

Теперь найдем (5 - x²)² и (x² + 1)²:

• (5 - x²)² = 25 - 10x² + x⁴
• (x² + 1)² = x⁴ + 2x² + 1

Теперь подставим эти выражения в формулу для объема:

V = π ∫[-√2, √2] (25 - 10x² + x⁴ - (x⁴ + 2x² + 1)) dx.

Упростим подынтегральное выражение:

V = π ∫[-√2, √2] (25 - 10x² + x⁴ - x⁴ - 2x² - 1) dx = π ∫[-√2, √2] (24 - 12x²) dx.

Теперь вычислим интеграл:

V = π [24x - 4x³] от -√2 до √2.

Теперь подставим границы:

1. Подставляем x = √2:
2. 24√2 - 4(√2)³ = 24√2 - 4(2√2) = 24√2 - 8√2 = 16√2.
3. Подставляем x = -√2:
4. 24(-√2) - 4(-√2)³ = -24√2 + 8√2 = -16√2.

Теперь находим разность:

V = π [16√2 - (-16√2)] = π [16√2 + 16√2] = π [32√2].

Таким образом, объем тела, получаемого при вращении фигуры вокруг оси абсцисс, равен:

V = 32π√2.