Вычислите значение производной функции в точке х0=-1 для у=(х-1)^2/(x^2+1).

Алгебра 11 класс Производные и их применение алгебра 11 класс производная функция вычисление значение точка х0 у дробная функция квадрат x-1 x^2+1 Новый

Чтобы найти значение производной функции y = (x - 1)^2 / (x^2 + 1) в точке x₀ = -1, нам нужно следовать нескольким шагам.

1. Найти производную функции.
   • Функция дана в виде отношения двух функций: числитель u(x) = (x - 1)^2 и знаменатель v(x) = x^2 + 1.
   • Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного: (u/v)' = (u'v - uv') / v^2.
   • Найдем производные u'(x) и v'(x):
     • u(x) = (x - 1)^2, следовательно, u'(x) = 2(x - 1) (используем правило производной сложной функции).
     • v(x) = x^2 + 1, следовательно, v'(x) = 2x.
   • Подставим в формулу производной частного:
     • y'(x) = [(2(x - 1))(x^2 + 1) - (x - 1)^2(2x)] / (x^2 + 1)^2.
2. Упростить выражение для y'(x).
   • Раскроем скобки в числителе: 2(x - 1)(x^2 + 1) = 2x^3 + 2x - 2x^2 - 2.
   • (x - 1)^2(2x) = 2x(x^2 - 2x + 1) = 2x^3 - 4x^2 + 2x.
   • Числитель: [2x^3 + 2x - 2x^2 - 2] - [2x^3 - 4x^2 + 2x] = 2x^3 + 2x - 2x^2 - 2 - 2x^3 + 4x^2 - 2x.
   • Упростим: 0x^3 + 2x^2 - 2 = 2x^2 - 2.
   • Таким образом, y'(x) = (2x^2 - 2) / (x^2 + 1)^2.
3. Подставить x₀ = -1 в производную.
   • y'(-1) = (2(-1)^2 - 2) / ((-1)^2 + 1)^2.
   • Вычислим числитель: 2(1) - 2 = 0.
   • Вычислим знаменатель: (1 + 1)^2 = 4.
   • Таким образом, y'(-1) = 0 / 4 = 0.

Итак, значение производной функции в точке x₀ = -1 равно 0.