Чтобы вынести множитель из-под знака корня, мы будем использовать свойства квадратного корня и разложение чисел на множители. Рассмотрим каждое из заданий по порядку.

• Сначала разложим 50 на множители: 50 = 25 * 2.
• 25 является квадратом числа 5, поэтому √(50) = √(25 * 2) = √(25) * √(2) = 5√(2).
• Теперь разложим x³: x³ = x² * x. Следовательно, √(x³) = √(x² * x) = √(x²) * √(x) = x√(x), так как x > 0 при условии y > 0.
• Для y²: √(y²) = y, так как y > 0.
• Теперь объединим все вместе: √(50x³y²) = 5 * x * y * √(2x) = 5xy√(2x).

• Разложим 18 на множители: 18 = 9 * 2.
• 9 является квадратом числа 3, поэтому √(18) = √(9 * 2) = √(9) * √(2) = 3√(2).
• Теперь разложим x²: √(x²) = |x|. Поскольку x < 0, |x| = -x, и √(x²) = -x.
• Для y⁴: √(y⁴) = y², так как y может быть любым числом.
• Теперь объединим все вместе: √(18x²y⁴) = 3 * (-x) * y² * √(2) = -3xy²√(2).

• Разложим 12 на множители: 12 = 4 * 3.
• 4 является квадратом числа 2, поэтому √(12) = √(4 * 3) = √(4) * √(3) = 2√(3).
• Теперь разложим x⁵: x⁵ = x² * x² * x. Следовательно, √(x⁵) = √(x² * x² * x) = √(x²) * √(x²) * √(x) = x * x * √(x) = x²√(x).
• Для y²: √(y²) = |y|. Поскольку y < 0, |y| = -y, и √(y²) = -y.
• Теперь объединим все вместе: √(12x⁵y²) = 2 * x² * (-y) * √(3x) = -2x²y√(3x).

Таким образом, мы вынесли множитель из-под знака корня в каждом из случаев.