Для того чтобы определить, является ли данное выражение целым числом, нам нужно понять, что такое функции σ(n) и τ(n). Функция σ(n) обозначает сумму делителей числа n, а функция τ(n) обозначает количество делителей числа n.

Теперь давайте рассмотрим каждое из предложенных выражений по отдельности.

• Сначала найдем σ(15). Число 15 имеет делители 1, 3, 5 и 15. Сумма этих делителей: 1 + 3 + 5 + 15 = 24. То есть, σ(15) = 24.
• Теперь найдем τ(σ(15)). Поскольку σ(15) = 24, нам нужно найти количество делителей числа 24. Делители 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Итак, τ(24) = 8.
• Теперь подставим в выражение: σ(15)! / τ(σ(15))! = 24! / 8!. Это выражение является целым числом, так как 24! делится на 8! (по определению факториала).

• Число 19 — простое, поэтому его делители: 1 и 19. Сумма делителей σ(19) = 1 + 19 = 20.
• Количество делителей τ(19) = 2 (делители 1 и 19).
• Теперь подставим в выражение: σ(19)! / τ(19)! = 20! / 2!. Это тоже целое число, так как 20! делится на 2!.

• Мы уже нашли τ(σ(15)) = 8 (где σ(15) = 24).
• Подставим в выражение: 8! / τ(σ(15))! = 8! / 8! = 1. Это целое число.

• Теперь найдем τ(20). Делители числа 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20. Итак, τ(20) = 6.
• Теперь подставим в выражение: 20! / τ(20)! = 20! / 6!. Это также целое число, так как 20! делится на 6!.

Ответ: Все предложенные выражения являются целыми числами.