2025-11-10 22:34:47
Задача 1.4. Петя утверждает, что если a² делится на a-b, то и b² делится на a-b. Является ли это утверждение верным? Запись на полях: a²-b² = a² - 2ab + b²
Алгебра 11 класс Делимость и свойства деления алгебра 11 класс Делимость утверждение Пети a2 b2 A-b математическая логика
2025-11-10 22:35:04
Для начала давайте проанализируем утверждение Пети. Он говорит, что если a² делится на a-b, то и b² делится на a-b. Мы можем проверить это утверждение, используя свойства делимости и разности квадратов.
1. Начнем с условия: предположим, что a² делится на a-b. Это означает, что существует такое целое число k, что:
- a² = k(a - b)
2. Теперь рассмотрим разность квадратов: мы знаем, что a² - b² = (a - b)(a + b). Это означает, что если a² делится на a-b, то:
- Поскольку a² = k(a - b), то a² - b² = (a - b)(a + b) = k(a - b) - b².
3. Теперь, чтобы проверить делимость b² на a-b: если мы можем выразить b² через a и k, то нам нужно исследовать, делится ли b² на a-b. Для этого из уравнения a² = k(a - b) мы можем выразить b:
- b = a - (a²/k).
4. Теперь подставим b в b²:
- b² = (a - (a²/k))² = a² - 2a(a²/k) + (a²/k)².
5. Теперь нам нужно проверить, делится ли это выражение на a-b: если a-b делит a², то мы должны проверить, делит ли оно b². Однако, в общем случае, это не обязательно выполняется, так как b может принимать разные значения.
Таким образом, мы можем сделать вывод, что утверждение Пети не всегда верно. Существуют случаи, когда a² делится на a-b, но b² не делится на a-b.
Ответ: Утверждение Пети неверно.