Задача №19

Нам нужно найти значение выражения sin(1001π/2 + α), зная, что sin α = 3√7/8 и α находится в интервале (0.5π, π).

Для решения этой задачи воспользуемся свойством синуса: sin(x + y) = sin x * cos y + cos x * sin y. В нашем случае x = 1001π/2 и y = α.

Сначала определим значение sin(1001π/2) и cos(1001π/2). Заметим, что 1001π/2 можно представить как 500π + π/2. Поскольку sin и cos имеют период 2π, мы можем упростить это выражение:

• sin(1001π/2) = sin(π/2) = 1
• cos(1001π/2) = cos(π/2) = 0

Теперь подставим эти значения в формулу:

sin(1001π/2 + α) = sin(1001π/2) * cos(α) + cos(1001π/2) * sin(α).

Так как cos(1001π/2) = 0, то второе слагаемое исчезает:

sin(1001π/2 + α) = 1 * cos(α) + 0 * sin(α) = cos(α).

Теперь нужно найти cos(α). Используя основное тригонометрическое тождество sin²α + cos²α = 1, мы можем найти cos(α):

cos²α = 1 - sin²α = 1 - (3√7/8)² = 1 - 63/64 = 1/64, следовательно, cosα = ±1/8.

Поскольку угол α находится в интервале (0.5π, π), то cos(α) будет отрицательным. Таким образом, cos(α) = -1/8.

Итак, значение выражения sin(1001π/2 + α) равно -1/8.

Задача №20

Здесь нам нужно найти значение tg α, зная, что cos α = -√5/5 и α находится в интервале (π/2, π).

Для нахождения tg α используем формулу tg α = sin α / cos α. Поскольку нам известен cos α, сначала найдем sin α, используя тригонометрическое тождество:

sin²α + cos²α = 1.

Подставим значение cos α:

sin²α + (-√5/5)² = 1.

sin²α + 5/25 = 1, следовательно, sin²α = 1 - 1/5 = 4/5.

Таким образом, sin α = ±√(4/5) = ±2/√5. Поскольку угол α находится в интервале (π/2, π), sin α будет положительным, и мы получаем sin α = 2/√5.

Теперь можем найти tg α:

tg α = sin α / cos α = (2/√5) / (-√5/5) = 2/√5 * (-5/√5) = -2.

Следовательно, значение tg α равно -2.

Задача №21

В этой задаче нужно найти значение выражения 26 cos(3π/2 + α), при условии, что cos α = 12/13 и α находится в интервале (3π/2, 2π).

Используем формулу для косинуса: cos(x + y) = cos x * cos y - sin x * sin y. Здесь x = 3π/2 и y = α.

Сначала определим значения cos(3π/2) и sin(3π/2):

• cos(3π/2) = 0
• sin(3π/2) = -1

Теперь подставим эти значения в формулу:

cos(3π/2 + α) = cos(3π/2) * cos(α) - sin(3π/2) * sin(α).

Так как cos(3π/2) = 0, первое слагаемое исчезает:

cos(3π/2 + α) = 0 * cos(α) - (-1) * sin(α) = sin(α).

Теперь нужно найти sin(α). Используя тождество sin²α + cos²α = 1, мы можем найти sin(α):

sin²α + (12/13)² = 1.

sin²α + 144/169 = 1, следовательно, sin²α = 1 - 144/169 = 25/169.

Таким образом, sin α = ±√(25/169) = ±5/13. Поскольку угол α находится в интервале (3π/2, 2π), sin α будет отрицательным, и мы получаем sin α = -5/13.

Теперь можем найти значение 26 cos(3π/2 + α):

26 cos(3π/2 + α) = 26 * sin(α) = 26 * (-5/13) = -10.

Таким образом, значение выражения 26 cos(3π/2 + α) равно -10.