Чтобы найти такие точки, в которых касательные к графикам функций f(x) и g(x) будут параллельны, нам нужно использовать производные этих функций. Если производные двух функций равны в какой-то точке, это означает, что касательные к графикам этих функций в этой точке параллельны.

Теперь давайте рассмотрим каждую пару функций по отдельности:

1. f(x) = 3x^2 - 5x + 4 и g(x) = 4x - 5
   • Находим производные:
   • f'(x) = 6x - 5
   • g'(x) = 4
   • Приравниваем производные: 6x - 5 = 4
   • Решаем уравнение: 6x = 9, x = 1.5
2. f(x) = 8x + 9 и g(x) = -5x + 8
   • f'(x) = 8
   • g'(x) = -5
   • Поскольку производные не равны, касательные не будут параллельны.
3. f(x) = 7x + 11 и g(x) = 7x - 9
   • f'(x) = 7
   • g'(x) = 7
   • Производные равны, значит, касательные параллельны в любой точке.
4. f(x) = x^3 - 8 и g(x) = x^2 + 5
   • f'(x) = 3x^2
   • g'(x) = 2x
   • Приравниваем: 3x^2 = 2x
   • Решаем уравнение: x(3x - 2) = 0, x = 0 или x = 2/3.
5. f(x) = x^3 + x^2 и g(x) = 5x - 7
   • f'(x) = 3x^2 + 2x
   • g'(x) = 5
   • Приравниваем: 3x^2 + 2x = 5
   • Решаем уравнение: 3x^2 + 2x - 5 = 0.
   • Находим дискриминант: D = 2^2 - 4*3*(-5) = 4 + 60 = 64.
   • Корни: x = (-2 ± 8) / 6, x = 1 или x = -5/3.
6. f(x) = x^4 + 11 и g(x) = x^3 + 10
   • f'(x) = 4x^3
   • g'(x) = 3x^2
   • Приравниваем: 4x^3 = 3x^2
   • Решаем уравнение: x^2(4x - 3) = 0, x = 0 или x = 3/4.

Теперь мы нашли все точки, в которых касательные к графикам функций будут параллельны:

• 1.5 для первой пары функций;
• Любая точка для третьей пары функций;
• 0 и 2/3 для четвертой пары функций;
• 1 и -5/3 для пятой пары функций;
• 0 и 3/4 для шестой пары функций.