Давайте решим каждую из поставленных задач по порядку.

1. Преобразование уравнения x² + y² = 4x в полярные координаты

В полярных координатах x и y выражаются через радиус r и угол φ следующим образом:

• x = r * cos(φ)
• y = r * sin(φ)

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

1. Заменим x и y: (r * cos(φ))² + (r * sin(φ))² = 4 * (r * cos(φ))
2. Упрощаем: r² * (cos²(φ) + sin²(φ)) = 4r * cos(φ)
3. Используем тригонометрическое тождество: cos²(φ) + sin²(φ) = 1, тогда r² = 4r * cos(φ)
4. Если r ≠ 0, делим обе стороны на r: r = 4 * cos(φ)

Таким образом, уравнение в полярных координатах: r = 4 * cos(φ).

Это уравнение описывает окружность с центром в точке (2, 0) и радиусом 2. Теперь мы можем построить эту окружность в полярной системе координат.

2. Преобразование уравнения y = √3x в полярные координаты

Подставим x и y в уравнение:

1. r * sin(φ) = √3 * (r * cos(φ))
2. Упрощаем: sin(φ) = √3 * cos(φ)
3. Делим обе стороны на cos(φ) (при условии, что cos(φ) ≠ 0): tan(φ) = √3

Угол φ, для которого tan(φ) = √3, равен π/3 или 60°. Таким образом, уравнение в полярных координатах можно записать как: φ = π/3.

Это уравнение описывает прямую линию, проходящую через начало координат под углом 60° к положительному направлению оси X.

3. Преобразование уравнения ρ = 4/(1 + cosφ в декартовые координаты

В полярных координатах ρ обозначает радиус, а cos(φ) можно выразить через x и ρ:

• cos(φ) = x/ρ

Теперь подставим это в уравнение:

1. ρ = 4 / (1 + x/ρ)
2. Умножим обе стороны на (1 + x/ρ): ρ(1 + x/ρ) = 4
3. Упростим: ρ + x = 4
4. Заменим ρ на √(x² + y²): √(x² + y²) + x = 4

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

1. x² + y² + 2x√(x² + y²) + x² = 16
2. 2x² + y² + 2x√(x² + y²) - 16 = 0

Это уравнение описывает кардиоиду, которая имеет характерную форму, напоминающую сердце.

Таким образом, мы преобразовали все уравнения и определили тип кривых:

• Первая кривая: окружность r = 4 * cos(φ).
• Вторая кривая: прямая φ = π/3.
• Третья кривая: кардиоид, описываемая уравнением √(x² + y²) + x = 4.