Для решения данной задачи начнем с того, что у нас есть система уравнений:

• Первое уравнение: x^2 - 10x + y^2 + 10y + 25 = 0
• Второе уравнение: y = x + a

Подставим второе уравнение во первое. Для этого заменим y в первом уравнении:

Подставляем y = x + a:

x^2 - 10x + (x + a)^2 + 10(x + a) + 25 = 0

Раскроем скобки:

x^2 - 10x + (x^2 + 2ax + a^2) + 10x + 10a + 25 = 0

Соберем подобные члены:

2x^2 + (2a - 10 + 10)x + (a^2 + 10a + 25) = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно x:

2x^2 + (2a)x + (a^2 + 10a + 25) = 0

Чтобы система имела единственное решение, дискриминант этого квадратного уравнения должен равняться нулю. Дискриминант D для уравнения Ax^2 + Bx + C = 0 вычисляется по формуле:

D = B^2 - 4AC

В нашем случае:

• A = 2
• B = 2a
• C = a^2 + 10a + 25

Теперь подставим значения A, B и C в формулу для дискриминанта:

D = (2a)^2 - 4 * 2 * (a^2 + 10a + 25)

Упростим это выражение:

D = 4a^2 - 8(a^2 + 10a + 25)

D = 4a^2 - 8a^2 - 80a - 200

D = -4a^2 - 80a - 200

Приравняем дискриминант к нулю для нахождения значений параметра a:

-4a^2 - 80a - 200 = 0

Умножим уравнение на -1 для упрощения:

4a^2 + 80a + 200 = 0

Теперь упростим уравнение, разделив все коэффициенты на 4:

a^2 + 20a + 50 = 0

Теперь найдем дискриминант этого уравнения:

D = 20^2 - 4 * 1 * 50 = 400 - 200 = 200

Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы корней:

a = (-B ± √D) / 2A

a = (-20 ± √200) / 2

Упрощаем √200:

√200 = √(100 * 2) = 10√2

Теперь подставим это значение:

a = (-20 ± 10√2) / 2

a = -10 ± 5√2

Таким образом, все значения параметра a, при которых система имеет единственное решение: