Чтобы решить данное задание, начнем с нахождения производной функции f(x) = 2x^3 - 27x^2 + 120x - 1.

Шаг 1: Нахождение производной

Производная функции f(x) обозначается как f'(x). Найдем ее:

• f'(x) = d/dx (2x^3) - d/dx (27x^2) + d/dx (120x) - d/dx (1)
• f'(x) = 6x^2 - 54x + 120

Шаг 2: Нахождение стационарных точек

Стационарные точки находятся там, где производная равна нулю. Решим уравнение:

• 6x^2 - 54x + 120 = 0

Сначала упростим уравнение, разделив все коэффициенты на 6:

• x^2 - 9x + 20 = 0

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 * 1 * 20 = 81 - 80 = 1

Так как D > 0, у уравнения два различных корня:

• x1 = (9 + √1) / 2 = 5
• x2 = (9 - √1) / 2 = 4

Таким образом, стационарные точки находятся в x = 4 и x = 5.

Шаг 3: Определение промежутков возрастания и убывания

Теперь определим, где функция возрастает, а где убывает. Для этого рассмотрим знаки производной на интервалах, определяемых стационарными точками:

• Интервал (-∞, 4)
• Интервал (4, 5)
• Интервал (5, +∞)

Подберем тестовые точки из каждого интервала:

• Для x = 0 (интервал (-∞, 4)): f'(0) = 6(0)^2 - 54(0) + 120 = 120 > 0 (возрастает)
• Для x = 4.5 (интервал (4, 5)): f'(4.5) = 6(4.5)^2 - 54(4.5) + 120 = -4.5 < 0 (убывает)
• Для x = 6 (интервал (5, +∞)): f'(6) = 6(6)^2 - 54(6) + 120 = 12 > 0 (возрастает)

Таким образом, функция возрастает на интервалах (-∞, 4) и (5, +∞), и убывает на интервале (4, 5).

Шаг 4: Нахождение точек локального максимума и минимума

Мы знаем, что:

• На x = 4 функция имеет локальный максимум, так как она меняет направление с возрастания на убывание.
• На x = 5 функция имеет локальный минимум, так как она меняет направление с убывания на возрастание.

Теперь найдем значения функции в этих точках:

• f(4) = 2(4)^3 - 27(4)^2 + 120(4) - 1 = 32 - 432 + 480 - 1 = 79
• f(5) = 2(5)^3 - 27(5)^2 + 120(5) - 1 = 250 - 675 + 600 - 1 = 174

Итог:

• Стационарные точки: x = 4 и x = 5.
• Промежутки возрастания: (-∞, 4) и (5, +∞).
• Промежутки убывания: (4, 5).
• Точка локального максимума: (4, 79).
• Точка локального минимума: (5, 174).