1. Каковы стороны прямоугольника, если его периметр равен 72, и он должен иметь наибольшую площадь?

2. Как представить число 5 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение первого слагаемого и куба второго слагаемого было максимальным?

3. Какие размеры должен иметь прямоугольник с площадью 16 см в квадрате, чтобы его периметр был наименьшим?

Алгебра 6 класс Оптимизация выражений периметр прямоугольника площадь прямоугольника максимальное произведение слагаемых размеры прямоугольника минимальный периметр алгебра 6 класс Новый

Давайте разберем каждый из вопросов по очереди.

1. Каковы стороны прямоугольника, если его периметр равен 72, и он должен иметь наибольшую площадь?

Для начала, давайте вспомним, что периметр прямоугольника вычисляется по формуле:

Периметр = 2 * (длина + ширина).

В нашем случае периметр равен 72, значит:

2 * (длина + ширина) = 72.

Разделим обе стороны уравнения на 2:

длина + ширина = 36.

Теперь, чтобы найти максимальную площадь, мы используем формулу для площади прямоугольника:

Площадь = длина * ширина.

Мы можем выразить ширину через длину:

ширина = 36 - длина.

Подставим это значение в формулу для площади:

Площадь = длина * (36 - длина) = 36 * длина - длина^2.

Теперь у нас есть квадратная функция, и максимальное значение площади будет находиться в вершине параболы. Вершина параболы находится по формуле:

длина = -b / (2a),

где a и b – это коэффициенты в уравнении площади.

В нашем случае a = -1 и b = 36. Подставляем значения:

длина = -36 / (2 * -1) = 18.

Теперь, зная длину, можем найти ширину:

ширина = 36 - 18 = 18.

Таким образом, стороны прямоугольника, который имеет наибольшую площадь при заданном периметре, равны 18 см и 18 см, что делает его квадратом.

2. Как представить число 5 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение первого слагаемого и куба второго слагаемого было максимальным?

Обозначим первое слагаемое как x, а второе как y. Мы знаем, что:

x + y = 5.

Нам нужно максимизировать выражение:

P = x * (y^3).

Подставим y из первого уравнения:

P = x * ((5 - x)^3).

Теперь для нахождения максимума мы можем использовать производную, но проще будет рассмотреть несколько вариантов:

• Если x = 1, то y = 4, P = 1 * (4^3) = 64.
• Если x = 2, то y = 3, P = 2 * (3^3) = 54.
• Если x = 3, то y = 2, P = 3 * (2^3) = 24.
• Если x = 4, то y = 1, P = 4 * (1^3) = 4.

Наибольшее значение P = 64, когда x = 1 и y = 4. Таким образом, 5 можно представить как 1 + 4.

3. Какие размеры должен иметь прямоугольник с площадью 16 см в квадрате, чтобы его периметр был наименьшим?

Для того чтобы найти размеры прямоугольника, при которых периметр будет минимальным, мы снова воспользуемся формулами. Пусть длина прямоугольника равна a, а ширина – b. Мы знаем, что:

a * b = 16.

Периметр P = 2 * (a + b).

Мы можем выразить b через a:

b = 16 / a.

Теперь подставим b в формулу для периметра:

P = 2 * (a + 16 / a).

Чтобы минимизировать периметр, мы можем использовать производную, однако, как и в предыдущем случае, мы можем заметить, что минимальный периметр у прямоугольника будет, когда он становится квадратом. Таким образом, если a = b, то:

a * a = 16, a^2 = 16, a = 4.

Следовательно, размеры прямоугольника должны быть 4 см и 4 см, чтобы периметр был минимальным.