Как найти решение задачи на прогрессию, связанную с гусеницей и удобрениями?

1. Гусеница ползёт по звеньям ломаной, где длина первого звена 40 см, а каждое следующее звено на 3 см меньше. Сколько звеньев ломаной она прошла, если за день проползла 2,5 м?
2. На участках внесли два удобрения: первое по 1 кг на каждый участок, а второе - 200 г на первый участок и на 200 г больше на каждый следующий. Всего внесли 18 кг удобрений. Сколько килограммов удобрений внесли на последний участок?

Алгебра 7 класс Темы прогрессий алгебра 7 класс решение задач на прогрессию гусеница и удобрения задачи на ломаную удобрения на участках математические задачи прогрессия в алгебре Новый

Чтобы решить задачу, давайте разберёмся с каждой частью по отдельности.

Часть 1: Гусеница и звенья ломаной

Гусеница ползёт по звеньям ломаной, где длина первого звена составляет 40 см, а каждое следующее звено на 3 см меньше. Мы можем выразить длину n-го звена с помощью формулы:

Длина n-го звена = 40 - 3 * (n - 1) см.

Теперь давайте найдём, сколько звеньев гусеница прошла, если за день она проползла 2,5 м (или 250 см).

Сначала определим сумму длин первых n звеньев:

Сумма = (длина первого звена) + (длина второго звена) + ... + (длина n-го звена).

Эта сумма является арифметической прогрессией, где:

• Первый член a1 = 40 см;
• Разность d = -3 см;
• Количество членов n = ?

Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

Сумма = n/2 * (a1 + a_n),

где a_n = 40 - 3 * (n - 1).

Мы знаем, что сумма должна равняться 250 см:

250 = n/2 * (40 + (40 - 3 * (n - 1))).

Упростим это уравнение:

250 = n/2 * (40 + 40 - 3n + 3) = n/2 * (83 - 3n).

Теперь умножим обе стороны на 2:

500 = n * (83 - 3n).

Это уравнение можно решить, раскрыв скобки:

500 = 83n - 3n².

Перепишем уравнение в стандартной форме:

3n² - 83n + 500 = 0.

Теперь применим формулу для решения квадратного уравнения:

n = (b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 3, b = -83, c = 500.

Дискриминант D = b² - 4ac = (-83)² - 4 * 3 * 500 = 6889 - 6000 = 889.

Теперь находим корни:

n = (83 ± √889) / 6.

Приблизительно √889 ≈ 29.8, тогда:

n1 ≈ (83 + 29.8) / 6 ≈ 18.1 и n2 ≈ (83 - 29.8) / 6 ≈ 8.8.

Так как n должно быть целым числом, мы принимаем n = 18.

Таким образом, гусеница прошла 18 звеньев.

Часть 2: Удобрения

Теперь разберёмся с удобрениями. Первое удобрение вносится по 1 кг на каждый участок, а второе - 200 г на первый участок и на 200 г больше на каждый следующий участок.

Сначала определим, сколько участков у нас есть. Пусть n - количество участков.

Сумма удобрений первого типа: 1 кг * n = n кг.

Сумма удобрений второго типа: 0.2 кг + 0.4 кг + 0.6 кг + ... + 0.2n кг.

Это тоже арифметическая прогрессия, где:

• Первый член = 0.2 кг;
• Разность = 0.2 кг;
• Количество членов = n.

Сумма = n/2 * (2 * 0.2 + (n - 1) * 0.2) = n/2 * (0.4 + 0.2n - 0.2) = n/2 * (0.2n + 0.2) = n² / 10 + n / 10.

Общая сумма удобрений: n + (n² / 10 + n / 10) = 18 кг.

Упрощаем уравнение:

10n + n² + n = 180.

n² + 11n - 180 = 0.

Решим это квадратное уравнение:

n = (11 ± √(11² - 4 * 1 * (-180))) / 2 * 1 = (11 ± √(121 + 720)) / 2 = (11 ± √841) / 2 = (11 ± 29) / 2.

Корни будут:

• n1 = (40) / 2 = 20;
• n2 = (-9) / 2 (отрицательный корень не подходит).

Таким образом, всего 20 участков.

Теперь найдем, сколько килограммов удобрений внесли на последний участок:

Второе удобрение на 20-м участке: 0.2 * 20 = 4 кг.

Ответ: на последний участок внесли 4 кг удобрений.

Таким образом, мы нашли ответ на обе части задачи!