Докажите, что если перемножить три тысячи двоек, то получится число, состоящее не более чем из 1000 цифр.

Алгебра 8 класс Логарифмы алгебра 8 класс перемножение двоек доказательство число из 1000 цифр математическая индукция Новый

Чтобы доказать, что произведение трех тысяч двоек содержит не более чем 1000 цифр, начнем с того, что мы можем выразить это произведение в виде степени:

Шаг 1: Запишем произведение:

• 2 * 2 * 2 * ... (3000 раз) = 2^3000.

Теперь у нас есть число 2 в степени 3000.

Шаг 2: Чтобы узнать, сколько цифр в числе, мы можем использовать формулу для количества цифр числа N в десятичной системе счисления:

• Количество цифр = floor(log10(N)) + 1.

В нашем случае N = 2^3000. Подставим это в формулу:

Шаг 3: Найдем log10(2^3000):

• log10(2^3000) = 3000 * log10(2).

Теперь нам нужно найти значение log10(2). Оно примерно равно 0.301.

Шаг 4: Подставим значение log10(2) в выражение:

• 3000 * log10(2) ≈ 3000 * 0.301 = 903.

Шаг 5: Теперь подставим это значение в формулу для количества цифр:

• Количество цифр = floor(903) + 1 = 903 + 1 = 904.

Таким образом, произведение трех тысяч двоек, то есть число 2^3000, содержит 904 цифры.

Заключение: Мы доказали, что если перемножить три тысячи двоек, то получится число, состоящее не более чем из 1000 цифр, так как 904 < 1000.