Давайте сначала разберемся с первым неравенством:

Неравенство 1: 2(x + 1)(x - 3) > (x + 5)(x - 7)

Шаг 1: Раскроем скобки с обеих сторон неравенства.

• Левая часть: 2(x + 1)(x - 3) = 2[(x^2 - 3x + x - 3)] = 2(x^2 - 2x - 3) = 2x^2 - 4x - 6.
• Правая часть: (x + 5)(x - 7) = x^2 - 7x + 5x - 35 = x^2 - 2x - 35.

Шаг 2: Теперь подставим эти выражения обратно в неравенство:

2x^2 - 4x - 6 > x^2 - 2x - 35.

Шаг 3: Переносим все слагаемые в одну сторону:

2x^2 - 4x - 6 - x^2 + 2x + 35 > 0.

Это упрощается до:

x^2 - 2x + 29 > 0.

Шаг 4: Теперь рассмотрим дискриминант этого квадратного уравнения:

D = (-2)^2 - 4 * 1 * 29 = 4 - 116 = -112.

Так как дискриминант отрицателен, это означает, что квадратное уравнение не имеет действительных корней и парабола открыта вверх. Значит, выражение x^2 - 2x + 29 всегда положительно для любого значения x.

Таким образом, первое неравенство верно для любого x.

Неравенство 2: (x + 5)(x - 7) ≤ (x + 2)(x - 4)

Шаг 1: Раскроем скобки с обеих сторон неравенства.

• Левая часть: (x + 5)(x - 7) = x^2 - 7x + 5x - 35 = x^2 - 2x - 35.
• Правая часть: (x + 2)(x - 4) = x^2 - 4x + 2x - 8 = x^2 - 2x - 8.

Шаг 2: Подставим эти выражения обратно в неравенство:

x^2 - 2x - 35 ≤ x^2 - 2x - 8.

Шаг 3: Переносим все слагаемые в одну сторону:

x^2 - 2x - 35 - (x^2 - 2x - 8) ≤ 0.

Это упрощается до:

-35 + 8 ≤ 0.

или:

-27 ≤ 0.

Шаг 4: Это неравенство всегда верно.

Таким образом, второе неравенство также верно для любого значения x.

Вывод: Оба неравенства верны для любого значения x.