Два рабочих, работая совместно, могут завершить работу за 12 дней. Если один из рабочих начнет работу, а затем его заменит другой после завершения половины работы, то вся работа будет выполнена за 25 дней. Сколько дней каждому рабочему потребуется для выполнения этой работы самостоятельно?

Алгебра 8 класс Системы уравнений алгебра 8 класс задача на работу два рабочих совместная работа время работы решение задачи математическая задача трудозатраты алгебраические уравнения работа и время Новый

Давайте обозначим рабочих как A и B. Нам нужно найти, сколько дней каждому из них требуется для выполнения всей работы самостоятельно.

1. Сначала определим производительность рабочих A и B. Если они работают вместе и завершают работу за 12 дней, это значит, что их совместная производительность составляет:

• 1/12 работы в день.

2. Теперь обозначим количество дней, необходимых каждому рабочему для выполнения работы самостоятельно:

• Пусть A завершает работу за x дней.
• Пусть B завершает работу за y дней.

Тогда производительность рабочего A будет равна 1/x работы в день, а рабочего B - 1/y работы в день. Таким образом, мы можем записать уравнение:

• 1/x + 1/y = 1/12.

3. Теперь рассмотрим ситуацию, когда один рабочий начинает работу, а затем его заменяет другой. Если A работает первый, то он делает половину работы, а затем B завершает оставшуюся половину работы за 25 дней. Это можно записать так:

• Время, затраченное A на выполнение половины работы: 1/2 = (1/x) * t1, где t1 - время работы A.
• Время, затраченное B на выполнение оставшейся половины работы: 1/2 = (1/y) * t2, где t2 - время работы B.

4. Мы знаем, что t1 + t2 = 25 дней.

Поскольку A выполняет половину работы, то:

• t1 = (1/2) * x.

А B выполняет оставшуюся половину работы, так что:

• t2 = (1/2) * y.

5. Теперь подставим t1 и t2 в уравнение:

• (1/2) * x + (1/2) * y = 25.

Умножим на 2, чтобы избавиться от дробей:

• x + y = 50.

6. Теперь у нас есть система из двух уравнений:

• 1/x + 1/y = 1/12,
• x + y = 50.

7. Из второго уравнения выразим y:

• y = 50 - x.

8. Подставим это значение в первое уравнение:

• 1/x + 1/(50 - x) = 1/12.

9. Умножим все уравнение на 12x(50 - x), чтобы избавиться от дробей:

• 12(50 - x) + 12x = x(50 - x).

10. Раскроем скобки:

• 600 - 12x + 12x = 50x - x^2.

11. Упростим уравнение:

• 600 = 50x - x^2.

12. Перепишем уравнение в стандартной форме:

• x^2 - 50x + 600 = 0.

13. Теперь воспользуемся формулой для решения квадратного уравнения:

• x = [50 ± √(50^2 - 4 * 1 * 600)] / 2.

14. Вычислим дискриминант:

• D = 2500 - 2400 = 100.

15. Теперь подставим дискриминант в формулу:

• x = [50 ± 10] / 2.

16. Получаем два значения для x:

• x1 = (50 + 10) / 2 = 30,
• x2 = (50 - 10) / 2 = 20.

17. Теперь найдем соответствующие значения y:

• Если x = 30, то y = 50 - 30 = 20.
• Если x = 20, то y = 50 - 20 = 30.

Таким образом, мы можем заключить:

• Рабочий A выполняет работу за 30 дней,
• Рабочий B выполняет работу за 20 дней.

Ответ: Рабочему A требуется 30 дней, а рабочему B - 20 дней для выполнения работы самостоятельно.