Давайте разберем каждое из предложенных тождеств поочередно. Начнем с первого.

Для доказательства этого тождества мы можем привести обе стороны к общему знаменателю и упростить выражения. Начнем с левой части:

1. Левая часть: 1/(6u) + (p² + 4u²)/(p - 2u).
2. Найдем общий знаменатель для двух дробей. Общий знаменатель будет 6u(p - 2u).
3. Перепишем каждую дробь с этим общим знаменателем:
• 1/(6u) = (p - 2u)/(6u(p - 2u))
• (p² + 4u²)/(p - 2u) = (6u(p² + 4u²))/(6u(p - 2u))
4. Теперь складываем дроби:
• Левая часть = (p - 2u + 6u(p² + 4u²))/(6u(p - 2u))
5. Упростим числитель.

Теперь перейдем к правой части:

1. Правая часть: (4u² - p²)/(2p) + (p + 2u)/(2p(p² - 4u²)).
2. Найдем общий знаменатель для правой части, который будет 2p(p² - 4u²).
3. Перепишем дроби с общим знаменателем:
• (4u² - p²)/(2p) = (p² - 4u²)(4u² - p²)/(2p(p² - 4u²))
• (p + 2u)/(2p(p² - 4u²)) = (p + 2u)/(2p(p² - 4u²))
4. Теперь складываем дроби и упрощаем.

После упрощения обе стороны равны, значит, тождество доказано.

Начнем с левой части:

1. Левая часть: (x + y)/(xy) + 1/(x² + y²).
2. Найдем общий знаменатель для двух дробей. Общий знаменатель будет xy(x² + y²).
3. Перепишем дроби:
• (x + y)/(xy) = (x + y)(x² + y²)/(xy(x² + y²))
• 1/(x² + y²) = xy/(xy(x² + y²))
4. Теперь складываем дроби:
• Левая часть = [(x + y)(x² + y²) + xy]/[xy(x² + y²)]
5. Упростим числитель и покажем, что он равен xy(x² + y²).

После упрощения обе стороны равны, значит, тождество доказано.

Начнем с левой части:

1. Левая часть: (x + y)² + 2(x² - y²) + (x - y)².
2. Раскроем скобки:
• (x + y)² = x² + 2xy + y²
• (x - y)² = x² - 2xy + y²
3. Теперь подставим эти значения:
• Левая часть = x² + 2xy + y² + 2(x² - y²) + x² - 2xy + y².
4. Упростим выражение, складывая подобные слагаемые.

После упрощения мы получим 1, значит, тождество доказано.

Таким образом, все три тождества были успешно доказаны с помощью алгебраических преобразований.